Dieser gelernte Sprachgebrauch "auf die eine Seite und die andere Seite bringen" stört das richtig Denken. Du musst nichts irgendwohin bringen, sondern dich darauf fokussieren, irgendetwas "weg zu machen". Dass es dann auf der anderen Seite erscheint, ergibt sich automatisch, da du ja beide Seiten der Gleichung gleich behandeln musst. Du überlegst also gezielt, was dich gerade am Weiterrechnen hindert und fängst damit an die Gleichung zu vereinfachen.

Hier musst du zuerst die Nenner wegbekommen. Nenner macht man weg, indem man mit ihnen multipliziert. Das kann man mit jedem einzelnen Nenner tun oder gleich mit dem Hauptnenner, der ja jeden Nenner enthält. Dann lassen sich Nenner wegkürzen.
Man kann auch vorher erweitern und dann mit dem HN multiplizieren.

Wenn man selbst rechnet, auch dann, wenn man die Lösung nachrechnet, merkt man, dass in Musterlösungen Zeilen weggelassen werden. Geübte können das, Ungeübte sollten alles aufschreiben.

Hallo 

Also im ersten Schritt bilden sie den Hauptnenner, dieser ist wie angegeben $(x-1)(x+2)$ dann multiplizieren sie beide Seiten der Gleichung mit diesem Hauptnenner und erhalten $2x(x+2)=(x+3)(x-1)+2(x+2)$

Hilft das weiter?