Optimierungsaufgabe

Aufrufe: 2781     Aktiv: 01.11.2022 um 18:08

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Hallo,

 

ich schreibe am Freitag eine Matheklausur und wollte deshalb eine Extremwertaufgabe in meinem Mathebuch rechnen.

Leider komme ich aber nicht weiter.

 

Die Aufgabe lautet wie folgt: 

Ein Aquarium soll gebaut werden. Es soll doppelt so lang wie breit werden. Oben ist es offen. Das Glas für die Bodenplatte kostet 300€/m². Das Glas für die Seitenscheiben 250€/m². Das Aquarium soll ein Fassungsvermögen von 200m³ erhalten. Welche Maße muss man wählen, damit das Aquarium möglichst billig wird? Wie hoch ist der Preis?

 

Die Haupt-, Nebenbedingung und Zielfunktion habe ich schon aufgestellt:

1.   Die HB müsste die Oberfläche ohne Deckel sein: O=2*2ah+2ah+2a²

2.   Die NB das Volumen: V=2a²*h  =  200=2a²*h

3.   Die NB habe ich dann nach h umgestellt: \frac {100} {a²}=h

4.   Das h habe ich dann in die HB eingesetzt und so die ZF erhalten: O(a)= 2*2a\frac {100} {a²}+2*a\frac {100} {a²}+2a²

5.   Die ZF habe ich dann noch vereinfacht: O(a)= \frac {600a} {a²}+2a²

Ich weiß jetzt noch, dass man die erste und zweite Ableitung aufstellen muss, um die Nullstellen der ersten Ableitung zu ermitteln und um zu überprüfen, ob es sich um Tiefpunkte oder Hochpunkte handelt. Ich weiß aber leider nicht, wie man Ableitungen von ganzrationalen gebrochenen Funktionen aufstellt. Außerdem bin ich mir unsicher, ob die ZF, die ich habe, so richtig ist.

 

Kann mir vielleicht jemand sagen, ob das, was ich bis jetzt gerechnet habe, so richtig ist und mir gegebenenfalls erklären, was ich falsch gemacht habe? Außerdem wäre es nett, wenn mir jemand erklären können, wie man die Ableitung der ZF berechnet. Es wäre übrigens auch nett und hilfreich, wenn jemand die Extremwertaufgabe vorrechnen könnte, damit ich etwas zu vergleichen habe. 

 

Die Lösungen habe ich. Die Maße lauten: 5m breit, 10m lang und 4m hoch. Die Maße ergeben minimale Kosten von 45000 Euro.

 

Es wäre wirklich nett, wenn mir jemand hier weiterhelfen würde, da ich ja, wie bereits erwähnt, am Freitag eine Matheklausur schreibe und mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit so eine Aufgabe drankommt.

Mit freundlichen Grüßen,

Marvin

 

 

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Schüler, Punkte: 25

 
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Hallo Marvin!

Du hast in deinen Ansatz nicht ganz richtig gewählt: mit deiner Zielfunktion berechnest du das minimale Volumen.

Dabei geht es in der Aufgabe darum, dass der Preis minimal werden soll. Darum hier mein Satz:

Preis setzt sich zusammen aus:

1) Preis für Seitenflächen: \(P_{Seitenfläche}(a,h)=2\cdot(a h +2ah)\cdot 250€\)

2) Preis für Bodenfläche: \(P_{Bodenfläche}(a)=2a^2\cdot 300€\)

Für den Gesamtpreis gilt also: \(P(a,h)=P_{Seitenfläche}(a,h)+P_{Bodenfläche}(a)=a^2\cdot600€+ah\cdot 1500€\)

Nun musst du noch deine Nebenbedingung einsetzen und ableiten. Deine Nebenbedingung war richtig.

 

Funktionen der Form: \(f(x)= \dfrac{1}{x}\) leitest du wie folgt ab:

1) schreibe deine Funktion um: \(f(x)= \dfrac{1}{x}=1\cdot x^{-1}\)

2) leite nach deinen bekannten Ableitungsregeln ab: \(f'(x)=-1\cdot x^{-2}\)

3)forme deinen Funktion zurück um:  \(f'(x)=-1\cdot x^{-2}=- \dfrac{1}{x^{2}} \)

 

Mit diesen Hilfen solltest du die Aufgabe nun lösen können! Ansonsten kannst du erneut nachfragen!

 

Grüße

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Hi,
aus welchem Buch stammt die Aufgabe?
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