Verteilung

Erste Frage Aufrufe: 285     Aktiv: 14.10.2024 um 22:43
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Im  Zeitraum von 08:00 Uhr bis 16:00 Uhr (480 Minuten) müssen 24 Teilnehmer ("TN") 2 Disziplinen (("DISZ1") und ("DISZ2")) absolvieren. Disziplin 1 ("DISZ1") dauert 20 Minuten. Disziplin 2 ("DISZ2") dauert 20 Minuten. Das ergibt für Disziplin 1 ("DISZ1")  24 Zeitelemente im Zeitraum 08:00 Uhr bis 16:00 Uhr (Start bei 480', Ende bei 960' ergibt Gesamtdauer 480' Minuten. Für Disziplin 2 ("DISZ2") ergeben sich daraus 24 Zeitelemente im Zeitraum 08:00 Uhr bis 16:00 Uhr. Es darf bei der Ausführung der Disziplin lediglich 1 Teilnehmer (keine Gruppe) eine der beiden Disziplinen wahrnehmen. Zwischen der Teilnahme an den Disziplinen ist eine Ruhezeit ("RZ")  von 30' Minuten zwingend vorgeschrieben. Das bedeutet z. Bsp dass ein Teilnehmer der das erste Zeitelement in Disziplin 1 ("DISZ1") wahrnimmt ( 08:00 bis 08:20 ) in Disziplin 2 ("DISZ2") erst ab 09:00 seinen Termin in Disziplin 2 wahrnehmen darf. ( 20' ("DISZ1") + 30' ("RZ")) = 50' d.h. ab 09:00 wäre Disziplin 2 ("DISZ2") möglich. Warum: Antwort = Disziplin 2 ("DISZ2") Zeitelemente ( 1. Zeitelement ( 08:00 bis 08:20) <= geht nicht, 2. Zeitelement ( 08:20 bis 08:40) <= geht nicht, 3. Zeitelement ( 08:40 bis 09:00) <= geht nicht,  4.Zeitelement ( 09:00 bis 09:20)  <= erstmals möglich. Der MINDESTABSTAND zwischen den Zeitelementen aus Disziplin 1 ("DISZ1") und den Zeitelementen aus Disziplin 2 ("DISZ2") beträgt also 4. Dieser MINDESTABSTAND ist auch durch die Teilnehmeranzahl teilbar 24 / 6 = 6. Daraus folgt => Lösung 1 der Verteilung ist also: Zeitelement aus Disziplin 1 ("DISZ1") plus MINDESTABSTAND könnte erstmals die Anforderung erfüllen soferne das Zeitelement in Disziplin 2 ("DISZ2") nicht bereits von einen anderen Teilnehmer belegt  wurde .  Lösung 2 der Verteilung: Zeitelement Disziplin 1 ("DISZ1") minus MINDESTABSTAND erfüllt ebenfalls die Anforderung wenn der generelle Startzeitzeitrahmen nicht unterschritten wird und der Termin in Disziplin 2 ("DISZ2") nicht belegt  wurde. Algorythmus also ( Zeitelement Disziplin 1 ("DISZ1") plus oder minus den MINDESTABSTAND = früheste Möglichkeit für Zeitelement Disziplin 1 ("DISZ1") soferne dieses nicht bereits vergeben wurde. ( Jeder Teilnehmer hat die gleiche und geringste Wartezeit zwischen den Disziplinen ) MEINE FRAGE: Welchen Einfluss hat die Logik der GERECHTEN Verteilung wenn die Teilnehmeranzahl eine Primzahl ist ( Bsp. 17) (Zeitraum von 08:00 Uhr bis 13:40 Uhr)  und daher die Teilnehmeranzahl nicht ohne Rest über den MINDESTABSTAND  teilbar ist?  Wie lautet diese Logik und wie sieht hier der Ansatz einer GERECHTEN Verteilung aus?
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Wenn ich die Aufgabe recht verstanden habe, ist bei einer gerechten Verteilung ist der Abstand zwischen DISZ1 und DISZ2 gleich.
Nennen wir diesen Abstand d.
Sei n die Anzahl der Teilnehmer.
Dann gibt es genau dann eine gerechte Verteilung, wenn 2d ein Teiler von n ist.

Sei TN i der Teilnehmer, der die DISZ1 als i-ter ausführt.

Diese Verteilung sieht dann immer so aus:
TN 1          DISZ2 in ZE d+1
TN 2          DISZ2 in ZE d+2
                           ...
TN d          DISZ2 in ZE 2d
TN d+1      DISZ2 in ZE 1
TN d+2      DISZ2 in ZE 2
                           ...
TN 2d        DISZ2 in ZE d
----------------------------------------------------------------------
TN 2d+1    DISZ2 in ZE 3d+1
                           ...
TN 3d        DISZ2 in ZE 4d
TN 3d+1    DISZ2 in ZE 2d+1
                           ...
TN 4d        DISZ2 in ZE 3d
----------------------------------------------------------------------
                           ...

Die Verteilung besteht also aus Blöcken mit je 2d Teilnehmern.


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Zu Ihrem Ergebnis: ("DISZ1 => DIS2") : Mindestabstand zwischen ("DISZ1 => DIS2") = 3. (20' Disziplin1 + 30' Ruhezeit ) = 50'. In Disziplin 2 1. Zeitelement Ende nach 20'; 2. Zeitelement Ende nach 40'; 3. Zeitelement Ende nach 60'. d.h Das heisst die Teilnehmer mit Zeitslot 1 bei Disziplin 1 kann bei Disziplin 2 aufgrund der Ruhezeit erst das 3. Zeitelement in Disziplin 2 wahrnehmen. Der MIndesabstand ist also 3. Und das plus 3 oder minus3 Zu Disziplin 2. ERgebnisse daher 1 => 4; 2 => 5; 3 => 6; 4 => 1; 5 => 2; 6 => 3; 7 => 10; 5 => 2; 6 => 3; 7 => 10; 8 => 11; 9 => 12; 10 => 7; 11=> 8; 12=> 9; .......... Die Teilnehmeranzahl 24 lässt sich durch 3 teilen. Jeder Teilnehmer hat also die gleiche Wartezeit. Also gerecht verteilt => also alles gut. Wie sieht es aber aus wenn eine Teilnehmeranzahl gegeben ist die eine Primzahl ist. Z. Bsp 17 lässt sich nur durch sich selbst teilen. Wie sieht dann ein gerechtes Verteilungssystem aus.   ─   userd9498c 08.10.2024 um 23:21
Bei 17 Teilnehmern gibt es keine gerechte Verteilung.
Das liegt aber nicht daran, dass 17 eine Primzahl wäre, sondern weil 17 ungerade ist.
Bei einer geraden Anzahl gibt es immer eine gerechte Verteilung - im Zweifelsfalle mit Abstand 1.
Bei ungeraden Anzahl gibt es nie eine gerechte Verteilung..


   ─   m.simon.539 09.10.2024 um 08:13
@m.simon Der Frager hat die Bitte um tags ignoriert, kannst Du tags einfügen bzw. editieren? Wenn nicht, nenn mal welche, dann füg ich die ein.   ─   mikn 09.10.2024 um 22:00
Es geht zwar um eine gerechte Verteilung mit gleichen Wartezeiten aber vorallem darum dass alle Teilnehmer so verteilt werden können mit geringsten Wartezeiten. Würde ihre Aussage bedeuten der Teilnehmer mit Zeitslot 1 aus Disz1 bekommt dann so aus dem Bauch heraus Zeitslot 10 von Disziplin 2 oder gibt es hierfür eine mathematische Beschreibung?. Zum Beispiel : Das erste und das letzte Zeitelement DISZ1 bekommt den 2 fachen Mindestabstand + 1. Danach bleiben 15 Elemente übrig die dann möglicherweise in das plus 3 oder minus 3 wie bei den 24 Teilnehmer angewandt wurde dann auflöst ? Der Mindestabstand hat sich ja nicht verändert. Die verbliebenen 15 Eölemente würden sich dann durch 3 teilen lassen. Danke auf jeden Fall für ihre raschen Antworten und ihre Mühe zu dieser Thematik.   ─   userd9498c 09.10.2024 um 23:25
Achso!

Wenn es um die geringstmöglich Wartezeit bei gerechter Verteilung geht, dann lautet diese: 1 ZE.

Wenn es um die größtmlgliche Wartezeit bei gerechter Verteilung geht, dann lautet diese: n/2 ZE.

Das alles gilt aber nur, wenn n, die Anzahl der TN, gerade ist.

Übrigens ist eine "gerechte" Verteilung nicht unbedingt gerecht.
Ich habe z.B. festgestellt, dass, wenn zuerst einen Dauerlauf mache und dann radfahre, ich beim Radfahren kaum noch vom Fleck komme.
Umgekehrt gilt das nicht.
Aber das nur am Rande.   ─   m.simon.539 10.10.2024 um 00:51
Das beantwortet meine Frage nicht. Wie ist duie Vorgehensweise bei Anzahl Teilnehmer ungerade oder Primzahl. Was ich brauche ist die mathematische Beschreibung wie vorgegangen werden muss und nicht aus dem Bauch heraus. Nur als Beispiel für eine mathematische Beschreigung wie ich mir das vorstelle das die Aufgabe beschreibt und das was ich haben möchte:. 17 Teilnehmer: Teilnehmer 1. aus 1. Zeitslot DISZ1 = 2 x Mindesabstand + 1 für Zuteilung zu Disziplin 2 ? => letzter Zeitslot Teilnehmer 17 Disz1 = 2 x Mindesabstand + 1 für Zuteilung zu Disziplin 2 ? . Dann bleiben noch 15 Teilnehmer zu verteilen.. Daus folgt => 15 / 3 (Mindestabstand) würde sich ? möglixcherweise nach dem Prinzip +3 <=> -3 wie bei geraden Zahlen wahrscheinlich lösen ? oder ? ?????   ─   userd9498c 11.10.2024 um 03:06
Bei 17 Teilnehmern gibt es keine gerechte Lösung.
Bei einer ungeraden Anzahl von Teilnehmern gibt es ebenfalls keine gerechte Lösung.
Wenn die Anzahl n der Teilnehmer gerade ist, und wenn der Mindestabstand >n/2, dann gibt es es ebenfalls keine gerechte Lösung.

Ansonsten sieht bei geradem n der Algorithmus so aus:
Sei d der kleinste Teiler von n/2, der \(\ge\) Mindestabstand ist.

Dann ist d der Abstand für alle TN, und die Verteilung sieht so aus wie in meiner Lösung oben angegeben.   ─   m.simon.539 11.10.2024 um 19:54
Offensichtlich haben sie die Thematik wegen meiner stümperhaften Beschreibung nicht richtig verstanden. Ihr Lösungsvorschlag wie sie ihn beschrieben haben hat eine KLEINE Unschärfe. Darüber hinaus geht es vor allen Dingen und in erster Linie darum alle Zeitelemente (ZE) aus Disz1 mit den Zeitelementen aus DISZ2 so zu verteilen das der Mindestabstand (DISZ1 Dauer 20' + Ruhezeit 20' ergibt also x_50'_x als "Gesamtdauer eines ZE aus DISZ1. Bei DISZ2 ZE Elementen sehen wir das erst ab dem 5. ZE => (1.ZE Dauer 0' => 15', 2.ZE Dauer 15' => 30', 3.ZE Dauer 30' => 45', 4.ZE Dauer 45' => 60', 5.ZE Dauer 60' => 75' => Ziel ist die xx_60_xx) die Bedingungen aus DISZ1 erfüllt werden können und somit DISZ1 einen Nachfolger bei DISZ2 gefunden hat = 5.ZE in DISZ2 (x_50'_x ist < xx_60_xx <= Start 5.ZE aus DISZ2). Die, ich benenne es jetzt mal einfacherweise SCHRITTWEITE unter den Ggebenheiten zwischen DISZ1 und DISZ2 ist also im Minimum xx_4_xx (5.ZE -1.ZE = 4 als SCHRITTWEITE. Daraus abgeleitet ZE 1 DISZ1 kann erst beim 5.ZE von DISZ2 antreten. Daraus bedeutet, Ihr mathematischer Lösungsansatz als Ergebnis für die Problemstellung hat eine KLEINE Unschärfe. Eine gerechte Aufteilung zwischen DISZ1 und DISZ2 ist das nachrangige aber immer bestehende Ziel sofern dies auch möglich ist. Das primäre Ziel ist es das alle vorhandenen ZE aus DISZ1 unter den gegebenen Vorgaben und Umständen mit den ZE aus DIS2 einen geeigneten Partner finden. Zum Bsp. 24 Teilnehmern (je TN je 1 Zeitslot sowohl in DISZ1 als auch in DISZ2) mit der mathematischen Gegebenheit aus den Grunddaten aufgrund der unterschiedlichen Dauer der DISZ1 und DISZ2 von 10' => MINDEST-Wartezeit d.h zusätzlich zu den 30' Ruhezeit zwischen den Disziplinen => die Gesamtwartezeit (20' + 10' aus mathematischer Gegebenheit = xxx_40'_xxx). Das funktioniert auch problemlos bei einer Teilbarkeit der gesamten ZE aus DISZ1 durch die SCHRITTWEITE ohne REST. Die Verteilung bzw. Verpartnerung bei 24 ZE aus DISZ1 und nur 24 ZE aus DISZ2 (32 wären theoretisch im gleichen Zeitraum möglich) lautet: ((ZE1 DISZ1) + 4) = 5. ZE DISZ2 oder ((ZE1 DISZ1) - 4) = -3. Die ergebnisse müssen immer grösser als 1 sein. Erst das 5.ZE aus DISZ1 würde (5-4 = 1) das 1. ZE von DISZ2 erhalten. Der Zyklus VORWÄRTS lautet: (ZE 1 aus DISZ1 an ZE 5. DISZ2, ZE 2 aus DISZ1 an ZE 6. DISZ2, ZE 3 aus DISZ1 an ZE 7. DISZ2, ZE 4 aus DISZ1 an ZE 8. DISZ2). Ab ZE 5 DISZ1 geht es dann RÜCKWÄRTS weil ZE - SCHRITTWEITE 1 ergibt (5-4 = 1). Das bedeutet das die Nachfolgenden ZE aus DISZ1 die noch verfügbaren ZE aus DISZ2 erhalten. (ZE 5 aus DISZ1 an ZE 1. DISZ2, ZE 6 aus DISZ1 an ZE 2. DISZ2, ZE 7 aus DISZ1 an ZE 3. DISZ2, ZE 8 aus DISZ1 an ZE 4. DISZ2). Der Zyklus VORWÄRTS mit SCHRITTWEITE + 4 und der Zyklus RÜCKWÄRTS mit SCHRITTWEITE - 4 (GESAMTZYKLUS) belegen also alle ZE aus DISZ2 von 1 bis 8. Das geht problemlos bis ZE 24 aus DISZ1. Ziel 1 und Ziel 2 wurden erreicht. Voraussetzuung hierfür das die Anzahl der ZE sind die SCHRITTWEITE TEILBAR ist und kein Rest übrigbleibt. die mathematische Formel zu diesem Komplex lautet daher (ZE + 4 oder ZE -4 (sofern Wert > 0 ist). Anders sieht es bei der Anzahl der ZE aus DISZ1 aus wenn diese Teilbarkeit durch die Schrittweite nicht ohne REst aufgeht. Bsp. 17 ZE aus DISZ1 (17/4 = 4,25) => ????? Wie sieht hier die mathematische Beschreibung (Formel) aus. welche mathematische Ableitung wäre vorstellbar ? Zuvor (ZE + SCHRITTWEITE oder ZE -SCHRITTWEITE (sofern Wert > 0 ist), bei ungerader ZE Anzahl ???? (1. ZE 2 x SCHRITTWEITE + 1, 17; ZE 2 x SCHRITTWEITE - 1; und danach der Ablauf des GESAMTZYKLUS ?. Das ist die Fragestellung mit den 2. Zielen. 1. Ziel: Jedes Y bekommt sein X unter den vorgegebenen Bedingungen und Vorgaben. 2. Ziel: Geringste zusätzliche Wartezeiten zwischen den ZE aus DISZ1 und DISZ2 und möglichst gerecht verteilt soferne es möglich ist. d.h. dann vielleicht dass 1 oder mehrere ZE aus DISZ1 eine längere Wartezeit aufweisen (möglichst die geringst notwendige) müssen um einen Partner zu DISZ2 zu bekommen. Vorrangig gilt aber => Jedes Y bekommt sein X. Ihre Aufgabe also => wie lautet die mathematische Ableitung im Fall von 17 ZE in DISZ1 unter den beschriebenen Bedingungen und den 2 Zielen (X hat sein Y und jedes X hat zu seinem Y den möglichst geringsten Zeitabstand zwischen Ende DISZ1 + Ruhezeit zu Anfang DISZ2. Viel Erfolg bei der Lösungserstellung. Man hört sich   ─   userd9498c 11.10.2024 um 23:07
Tut mir leid, jetzt blicke ich komplett nicht mehr durch. Was z.B. heißt "x_50'_x"? Was ist der Unterschied der Gesamtdauer eines ZE und der Dauer eines ZE ? Ich dachte, eeine ZE sei 20` und fertig. Usw.   ─   m.simon.539 12.10.2024 um 14:02
Eine Zeiteinheit nur für die Disziplin 1 selbst dauert 20 Minuten. Die gesamte Zeiteinheit inclusive Ruhepause = 2 0 Minuten + 3 0 Minuten => Gesamtdauer Disziplin 1 je Zeiteinheit ist 5 0 Minuten. Noch Fragen ?   ─   userd9498c 14.10.2024 um 22:38
Nehmen sie sich die Zeit und machen sie sich Aufzeichnungen über den absolut nicht komplizierten Sachverhalt. Mathematiker habe ich mir sagen lassen erkennen Thematiken sofort und mit ein bisschen Mitdenken aus meiner gewiss nicht professionellen Fragestellung können sie das Thema und die Basiseckpunkte erkennen. Sollten Sie das nicht wollen oder können geben Sie die Thematik an einen ihrer Kollegen (innen) weiter. Vielen Dank für ihren bisherigen Aufwand.   ─   userd9498c 14.10.2024 um 22:43

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