-Alle Eigenwerte haben negativen Realteil: System ist asymptotisch stabil

-Es gibt mindestens einen einfachen EW mit Realteil 0, Rest der EW haben negativen Realteil: Das System ist grenzstabil

-Es gibt mehrfache EW im Ursprung und/oder mindestens einen positiven: Das System ist instabil.

Ob es schwingt, hängt davon ab ob die EW komplex sind.

Außerdem kannst du dir das daran klar machen, dass eine doppelte Nullstelle im charakteristischen Polynom zu einer DGL-Lösung der Form xe^(λx) führt. Ist dein lambda jetzt 0 oder positiv, wird der Term niemals abklingen. 

schau mal hier, da ist es sehr gut beschrieben:
http://www-hm.ma.tum.de/ss06/bv2/aufgaben/Zusatzblatt1_LinDGL_KonstKoeff.pdf