Konvergenz Folge mit Wurzel

Aufrufe: 198     Aktiv: vor 4 Monaten, 1 Woche

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Hallo, 

ich soll diese Folge auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert bestimmen. Eigentlich bin ich sehr gut in dem Gebiet, aber dieser Ausdruck macht es mir echt nicht einfach. 

Ich bin gespannt, wie ihr das lösen würdet. 

Danke! 

gefragt vor 4 Monaten, 1 Woche
a
alisa,
Punkte: 33

 
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3 Antworten
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Mit Hilfe der dritten binomischen Formel erhält man

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{2n^2+4n-7}-\sqrt{2n(n+1)}= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{( \sqrt{2n^2+4n-7}-\sqrt{2n(n+1)})\cdot( \sqrt{2n^2+4n-7}+\sqrt{2n(n+1)}) }{( \sqrt{2n^2+4n-7}+\sqrt{2n(n+1)})}\)

\(\displaystyle= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n^2+4n-7-2n(n+1) }{\sqrt{2n^2+4n-7}+\sqrt{2n(n+1)}}= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n^2+4n-7-2n^2-2n }{\sqrt{2n^2+4n-7}+\sqrt{2n(n+1)}}\)

\(\displaystyle=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n-7 }{\sqrt{2n^2+4n-7}+\sqrt{2n(n+1)}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n\cdot(2-7\frac1n) }{n\cdot\sqrt{2+4\frac1n-7\frac1{n^2}}+n\cdot\sqrt{2+\frac1n}}=\frac2{2\cdot\sqrt{2}}=\frac1{\sqrt2} \)

geantwortet vor 4 Monaten, 1 Woche
mathe.study
Lehrer/Professor, Punkte: 1.29K
 

Da hat sich ein kleiner Fehler beim Ausmultiplizieren eingeschlichen. Es ist \( - 2n(n+1) = -2n^2 - 2n \) und nicht \( - 2n^2 - 2 \).   ─   anonym, vor 4 Monaten, 1 Woche

Über ein kleines ABO meines Youtube-Kanals MATHEstudy würde ich mich übrigens freuen :-)   ─   mathe.study, vor 4 Monaten, 1 Woche
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Wenn man das anders machen möchte, könnte man n=1, n=2,,,,,,, usw in die Folge einsetzen und schauen wo hin die Folge gegen konvergiert??

 

Wäre ja nicht falsch oder halt eine andere Methode.

geantwortet vor 4 Monaten, 1 Woche
k
kundi
Student, Punkte: 96
 

Da muss man aber lange schauen - oder schlägst du vor auf diese Art einen Grenzwert-Kandidaten zu finden und dann zu beweisen, dass dieser tatsächlich Grenzwert ist (Stichwort: \(\varepsilon\)-Bedingung) ?   ─   mathe.study, vor 4 Monaten, 1 Woche
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aber bei relativ kürzen Aufgaben hatte ich immer den richtigen Grenzwert heraus.

geantwortet vor 4 Monaten, 1 Woche
k
kundi
Student, Punkte: 96
 
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