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super danke, mal ganz allgemein wie parametrisiert man? Wir haben das in der Vorlseung nie vernünftig erklärt bekommen?
─
bukubuku
10.12.2020 um 01:23
Eine Parametrisierung einer \(k\)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit \(M\) von \(\mathbb{R}^N\) ist eine stetig differenzierbare Bijektion \(\psi\colon U\to M\), mit einer offenen Teilmenge \(U\subseteq\mathbb{R}^k\) als Definitionsbereich, deren Umkehrung auf \(M\) auch stetig ist, und deren Ableitung injektiv ist. Im Beispiel oben ist \(M:=(-1,1)\times\{1\}\times\{1\}\) eine \(1\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von \(\mathbb{R}^3\), \(\psi:=\gamma\), \(U:=(-1,1)\subseteq\mathbb{R}\). \(\gamma\) ist offensichtlich eine Bijektion zwischen \(U\) und \(M\). Die Ableitung hat die Jacobi-Matrix \(\gamma'(t)=
\begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}
\) und ist daher eine injektive lineare Abbildung. Es gilt \(\gamma^{-1}(x,y,z)=x\), also die Projektion auf die erste Koordinate. Diese ist stetig.
Ich war oben etwas ungenau, weil ich als Definitionsbereich \([-1,1]\) statt \((-1,1)\) angegeben habe. Für eindimensionale Untermannigfaltigkeiten kann man das noch begründen, in höheren Dimensionen ist das aber schwierig. Besser ist es daher, immer offene Definitionsbereiche zu verwenden. ─ slanack 10.12.2020 um 11:57
\begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}
\) und ist daher eine injektive lineare Abbildung. Es gilt \(\gamma^{-1}(x,y,z)=x\), also die Projektion auf die erste Koordinate. Diese ist stetig.
Ich war oben etwas ungenau, weil ich als Definitionsbereich \([-1,1]\) statt \((-1,1)\) angegeben habe. Für eindimensionale Untermannigfaltigkeiten kann man das noch begründen, in höheren Dimensionen ist das aber schwierig. Besser ist es daher, immer offene Definitionsbereiche zu verwenden. ─ slanack 10.12.2020 um 11:57
Im konkreten Fall muss man manchmal erfinderisch sein, um eine Parametrisierung zu finden, das ist nicht immer einfach. Für Strecken, so wie in diesem Beispiel, ist es aber sehr einfach, wie Du siehst.
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slanack
10.12.2020 um 11:58