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Hallo,
es gibt die Geschichte des kleinen Gauß. Gauß soll als kleines Kind dieses Formel hergeleitet haben. Dafür hat er sich folgendes überlegt.
Wir sagen wir wollen mal alle natürlichen Zahlen von \( 1 \) bis \(10 \) addieren.
$$ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 $$
nun schreiben wir mal die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge unter unsere Summe
$$ \begin{array}{c} 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 \\ 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 \end{array} $$
Nun addiere mal jeweils die Zahlen die übereinander stehen. Was ergeben diese? Wie oft haben wir das Ergebnis? Und was müssen wir noch bedenken um auf das richtige Ergebnis zu kommen?
Versuch dich mal.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Die genannten Zahlen aufaddiert ergeben jeweils 11. Das Gänge muss dann noch durch 2 geteilt werden, weil sie doppelt vorkommen... Aber ist das schon der Beweis?
─
kamil
26.02.2020 um 17:02
Fast. Genau die Zahlen ergeben immer \( 11 \). Weiter wenn wir alle Zahlen von \( 1 \) bis \( n \) auf diese Art addieren, erhalten wir \( n \) Paare, die alle \( n+1 \) ergeben.
$$ \Rightarrow n \cdot (n+1) $$
da nun aber die Summe 2x genommen wurde, müssen wir das Ergebnis noch durch \( 2 \) teilen also erhalten wir
$$ \sum\limits_{k=1}^n k = \frac {n(n+1)} 2 $$ ─ christian_strack 26.02.2020 um 17:09
$$ \Rightarrow n \cdot (n+1) $$
da nun aber die Summe 2x genommen wurde, müssen wir das Ergebnis noch durch \( 2 \) teilen also erhalten wir
$$ \sum\limits_{k=1}^n k = \frac {n(n+1)} 2 $$ ─ christian_strack 26.02.2020 um 17:09