Beidseitige Betragsgleichung mit Quadrat

Aufrufe: 36     Aktiv: 18.03.2021 um 21:25

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Folgende Gleichung:
\(\vert x^2+2x-1\vert = \vert x \vert\)

Somit folgt:
\((x^2+2x-1)\ für\ x^2+2x-1 >= 0 \) und \(-(x^2+2x-1)\ für\ x^2+2x-1 < 0 \)

Wenn man nach dem selben Prinzip für den rechten Teil vorgeht, stellt sich mir nun die Frage, wie ich von hier auf die Fälle komme, welche ich anschließend abarbeiten muss.
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Man kann eine Fallunterscheidung mit vier Fällen vornehmen, aber das erscheint mir doch recht kompliziert. Einfacher geht es folgendermaßen:
Für \( x=0 \) ist die Gleichung nicht erfüllt, also muss \( x \neq 0 \) sein. Deshalb darf man die Gleichung durch \( \vert x \vert \) teilen und erhält dann die äquivalente Gleichung
\( \vert \frac{x^2+2x-1}{x} \vert = 1 \)
Hier muss man dann nur die beiden Fälle \( \frac{x^2+2x-1}{x} \ge 0 \) und \( \frac{x^2+2x-1}{x} < 0 \) unterscheiden.
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