Beweis von Folgenkonvergenz

Aufrufe: 45     Aktiv: 09.06.2021 um 21:21

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Die Aufgabe ist:

Ich hätte jetzt den Ansatz, dass a_n=d*b_n. Man kann jetzt mit Grenzwerten rechnen. Somit ist a_n nur definiert, wenn b_n einen Grenzwert besitzt, also wenn b_n konvergiert. Sonst ist a_n auch nicht definiert und konvergiert somit auch nicht. 
Mir kommt das aber fast schon ein bisschen zu einfach vor und ich wollte mal fragen, ob jemand mal über diesen Ansatz drüberschauen könnte und im zweifelsfall bestätigen, dass er richtig ist.
(Ein alternativer Ansatz wäre super).
Danke im Vorraus!!!
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Punkte: 5

 

Das kann man mittels Majorantenkriterium beweisen.   ─   professorrs 09.06.2021 um 00:43

Wie kann man denn für diese Aufgabe das Majorantenkriterium anwenden?
  ─   derwahredani 09.06.2021 um 20:16

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1 Antwort
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Dein Ansatz mit der Konvergenz reicht so nicht aus. Wenn die Reihe \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) konvergiert, dann konvergiert auch die Folge der \( a_n \) (und zwar gegen Null). Die Rückrichtung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. Aus der Konvergenz der Folge der \( a_n \) lässt sich also nicht folgern, dass \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) konvergiert. Beispielsweise konvergiert die Folge \( (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}} \) gegen Null, aber die harmonische Reihe \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) ist nicht konvergent.

Ich würde bei dieser Aufgabe folgendermaßen vorgehen:
Aus der Konvergenz der Folge \( (\frac{a_n}{b_n})_{n \in \mathbb{N}} \) gegen \( d>0 \) folgt, dass es \( C_1,C_2>0 \) geben muss, sodass \( \frac{1}{C_1} < \frac{a_n}{b_n} < C_2 \) ist (Warum?).
Aus der linken Ungleichung kannst du dann eine Majorante für \( \sum_{n=1}^\infty b_n \) und aus der rechten Ungleichung eine Majorante für \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) konstruieren.
Das sollte dich hoffentlich zum Ziel führen.
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