Dein Ansatz mit der Konvergenz reicht so nicht aus. Wenn die Reihe \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) konvergiert, dann konvergiert auch die Folge der \( a_n \) (und zwar gegen Null). Die Rückrichtung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. Aus der Konvergenz der Folge der \( a_n \) lässt sich also nicht folgern, dass \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) konvergiert. Beispielsweise konvergiert die Folge \( (\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}} \) gegen Null, aber die harmonische Reihe \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) ist nicht konvergent.

Ich würde bei dieser Aufgabe folgendermaßen vorgehen:
Aus der Konvergenz der Folge \( (\frac{a_n}{b_n})_{n \in \mathbb{N}} \) gegen \( d>0 \) folgt, dass es \( C_1,C_2>0 \) geben muss, sodass \( \frac{1}{C_1} < \frac{a_n}{b_n} < C_2 \) ist (Warum?).
Aus der linken Ungleichung kannst du dann eine Majorante für \( \sum_{n=1}^\infty b_n \) und aus der rechten Ungleichung eine Majorante für \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) konstruieren.
Das sollte dich hoffentlich zum Ziel führen.