Hallo liebe alle,
ich bin schon eine Zeit am Überlegen warum folgende 2 Methoden nicht das selbe Ergebnis liefern:

1. Methode
$$\frac{x}{1+4x^2} = x\cdot\frac{1}{1-(-4x^2)} = x\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-4x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-4)^n x^{2n+1}$$ Umwandlung in geom. Reihe gilt $\forall x: |-4x^2|<1$

2. Methode:
Betrachte das Integral von $\frac{x}{1+4x^2}$:
$$\int \frac{x}{1+4x^2} dx \overset{u=1+4x^2}{=}\int \frac{x}{u} \frac{du}{8x} = \frac{1}{8}\int \frac{1}{u} du = \frac{1}{8} \ln|u|+c = \frac{1}{8} \ln(1+4x^2)+c$$
Mit $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}x^n/n$ gilt:
$$ \frac{1}{8} \ln(1+4x^2)+c = \frac{1}{8} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{(4x^2)^n}{n}+c = \frac{1}{8} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{(4)^n x^{2n}}{n}+c $$
Leite ab und vertausche Ableitung und Summe (meine Vermutung ist, dass es hier schief geht, da möglicherweise keine gleichmäßige Konvergenz vorhanden ist?):
$$\frac{d}{dx}\Bigl[\frac{1}{8} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{(4)^n x^{2n}}{n}+c\Bigr] = \frac{1}{8} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx} \Bigl[(-1)^{n+1}\frac{(4)^n x^{2n}}{n}+c\Bigl] =\frac{1}{8} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(4)^n\cdot 2n\cdot x^{2n-1}}{n} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(4)^n x^{2n-1} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(4)^{n-1} x^{2n-1} \overset{\text{Indexshift}}{=}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+2}(4)^{n} x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(4)^{n} x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty}(-4)^{n}x^{2n}$$

Wobei bei der 2. Methode genau ein Faktor $x$ fehlt.

Danke für die Hilfe im Vorhinein!