Geg. sei eine stetige Funktion \(f\). Der Differenzenquotient \(\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\) gibt die durchschnittliche Steigung von \(f\) auf dem Intervall \([x_0,x_1]\) an.

In der Zeichnung wäre \(x_0=x_1,\: x_1 = x_2\).

Der Zähler ist der Unterschied in der "Höhe" und der Nenner gibt den Unterschied in der "Breite" an für das Steigungsdreieck. 
Und schaut man sich die Definition des Tangens an, so findet sich diese in dem Steigungsdreieck wieder. 

\(\tan \alpha = \dfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\)

Äquivalente Definitionen sind \(\dfrac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h}\) mit \(h:=x_1-x_0\) oder eben auch \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\).

Lässt man nun \(x_1\) unendlich nah an \(x_0\) laufen, so gibt die durchschnittliche Steigung des Steigungsdreiecks die momente Steigung an der Stelle \(x_0\)  an. 

Quelle Bild: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/wichtige-funktionstypen-eigenschaften/lineare-funktionen---geraden/differenzenquotient