Wegen dem \(3+(-1)^n\) ist diese Reihe nicht unmittelbar eine geometrische Reihe. Zuerst einmal sollten wir immer die Reihe auf Konvergenz untersuchen: Wenn wir wissen, dass sie divergiert, sind wir fertig, wenn wir schon wissen, dass sie konvergiert, stehen uns mehr Mittel zum Berechnen zur Verfügung. Wegen \((-1)^n\leq 1\) gilt \(\frac{3+(-1)^n}{5^n}\leq\frac4{5^n}\). Diese Majorante ist jetzt eine geometrische Reihe, die du sicher berechnen kannst. Daraus folgt nun, (weil die ursprüngliche Reihe nur positive Terme enthält), dass auch unsere Reihe konvergiert.

Die Idee ist nun, dass \((-1)^n=\begin{cases}1&\text{ für gerade }n,\\-1&\text{ für ungerade }n\end{cases}\). Wenn wir also die Summe auf gerade und ungerade Summanden aufteilen, dann können wir den Ausdruck jeweils vereinfachen. Nach dem Umordnungssatz ist uns das erlaubt, weil wir schon eingesehen haben, dass die Reihe absolut konvergiert.

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{3+(-1)^n}{5^n}=\sum_{\substack{n=0\\n\text{ gerade}}}^\infty\frac{3+(-1)^n}{5^n}+\sum_{\substack{n=0\\n\text{ ungerade}}}^\infty\frac{3+(-1)^n}{5^n}=\sum_{k=0}^\infty\frac{3+(-1)^{2k}}{5^{2k}}+\sum_{k=0}^\infty\frac{3+(-1)^{2k+1}}{5^{2k+1}}=4\sum_{k=0}^\infty\frac1{25^k}+\frac25\sum_{k=0}^\infty\frac1{25^k}.$$ Was jetzt noch dasteht, ist einfach eine ganz normale geometrische Reihe. Kannst du die Rechnung selbst verfollständigen?

Du zerlegst den Bruch und teilst die Summe auf. Dann wendest du zweimal die geometrische Reihe an:

\(\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{3+(-1)^n}{5^n} =\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{3}{5^n}+\dfrac{(-1)^n}{5^n}=3\cdot \sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{5}\right)^n +\sum_{k=0}^{\infty} \left(-\dfrac{1}{5}\right)^n} =\ldots\)

Hoffe das hilft weiter.