Das ist schon alles richtig so. Du hast es schon so übersichtlich gemacht wie es geht. Ist leider etwas aufwendig, so eine Rechnung.
Ein klein wenig leichter wird es, wenn Du die Dgl durch 2 dividierst (erspart ein paar Klammern und damit Rechenfehlergefahren). Beim Einsetzen fällt e^(-x) auch raus.
Wenn man es einfacher rechnen will, aber keine Angst vor komplexen Zahl hat: Es gibt einen komplexen Ansatz, der aber, glaube ich, nicht oft gelehrt wird:

\(y_c(x)=(A_0+A_1x)\,e^{(-1+j)x}\)
Damit ist das Ableiten einfacher (und damit sicherer). Man muss halt alles komplex rechnen und am Ende ist dann \(y_s(x)= {\rm Im} \,y_c(x)\) eine partikuläre Lösung.
(Wenn auf der rechten Seite cos stehen würde, müsste man den Realteil nehmen.)