Gruppenaxiome korrekt beweisen?

Erste Frage Aufrufe: 105     Aktiv: 09.03.2024 um 13:51

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Hallo liebe Mathefragen - Community, 

ich verstehe nicht so ganz wie man die Gruppenaxiome für die gesamte Menge beweisen soll, bzw. wie man das korrekt aufschreibt. Also was ausreicht und was eher nicht. Ich habe im Anschluss eine Beispielaufgabe mit meinen eigenen "Lösungen" dazu hochgeladen. Mich würde mal interessieren ob meine "Rechnungen" korrekt sind und man das so aufschreiben könnte. LG Lukas :)

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Moin,

an manchen Stellen sieht das gut aus, an anderen eher weniger. Die Assoziativität und Kommutativität sowohl wie die Abgeschlossenheit sind eher Nebensache. Wichtig sind die Existenz des Inversen und neutralen Elements. Wenn man sich die Definitionen anschaut sieht man sofort, was zu zeigen ist: Es existiert genau EIN Element $e\in G$, s.d. für ALLE $g\in G$ $e\cdot g =g$ gilt und zu JEDEM $g\in G$ gibt es genau EIN $g^{-1}$, s.d. $g\cdot g^{-1}=e$ gilt. Man muss also $e$ und $g^{-1}$ explizit angeben. Das Inverse hast du schon gefunden - auch wenn es unsauber aufgeschrieben ist: Für $a$ ist $a^{-1}=\frac{1}{3a}$. Aber das neutrale Element fehlt. Wir suchen $e$, s.d. $e \cdot a =a$ für ein  beliebiges $a$. Also $$a=e\cdot a = 3\cdot a\cdot e $$Kannst du von hier aus weitermachen?

PS: Ich habe $\cdot$ für beide Operationen verwendet, aber ich glaube es ist klar, was gemeint ist.
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Hey,

vielen Dank für deine Antwort! Die Notation wurde von unserem Prof. etwas anders angegeben. Das neutrale Element heißt bei uns „n“. Ich weiß aber auch, dass es sonst oft durch ein „e“ angegeben wird. Aber das neutrale Element hier ist doch die 1, oder? Also in korrekter Notation:

a = e * a = 1 * 3a = 3a
a = a * e = 3a * 1 = 3a

würde das dann doch so gelten, oder?
  ─   lukas01 09.03.2024 um 10:22

Naja wenn das neutrale Element $e=1$ wäre, dann wäre $e\cdot a= 3a$. Wir wollen aber $e\cdot a=a$. Also einfach mit $\frac{1}{3}$ skalieren. Ergo $e=\frac{1}{3}$.   ─   fix 09.03.2024 um 11:30

Das war peinlich... ein Denkfehler meinerseits. Danke für deine Hilfe! :)   ─   lukas01 09.03.2024 um 13:51

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