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Hallo,
die Indikatorfunktion beeinflusst deine Integrationsgrenzen. Die Funktion ist ja gerade $1$, wenn wir in $[a,b]$ liegen und $0$ wenn wir nicht dort sind. Dort wo die Indikatorfunktion Null wird, wird auch der Integrand Null und davon das bestimmte Integral ist immer Null. Also
$$ \int\limits_{-\infty}^\infty \frac 1 {b-a} \cdot \textbf{1}_{x\in[a.b]} \ \mathrm{d}x = \int\limits_a^b \frac 1 {b-a} \ \mathrm{d}x $$
Grüße Christian
die Indikatorfunktion beeinflusst deine Integrationsgrenzen. Die Funktion ist ja gerade $1$, wenn wir in $[a,b]$ liegen und $0$ wenn wir nicht dort sind. Dort wo die Indikatorfunktion Null wird, wird auch der Integrand Null und davon das bestimmte Integral ist immer Null. Also
$$ \int\limits_{-\infty}^\infty \frac 1 {b-a} \cdot \textbf{1}_{x\in[a.b]} \ \mathrm{d}x = \int\limits_a^b \frac 1 {b-a} \ \mathrm{d}x $$
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Hmm ich habe nicht so mega viel Erfahrung mit Faltungen, deshalb muss ich gerade auch mal überlegen. Ich denke aber es ist eher folgendermaßen.
Wenn
$$ f(x) = 1 $$
dann ist aber auch
$$ f(t-x) = 1 $$
denn egal was wir einsetzen, wir erhalten immer $1$.
Allerdings würde ich sagen beeinflusst das die Indikatorfunktion
Also ich würde sagen es ist
$$ \rho_Y(t-x) = 1 \cdot \textbf 1_{t-x\in[0,1]} $$
Nun würde ich sagen, können wir daraus ein Intervall für $t$ bestimmen. Aus den Indikatorfunktionen folgen die Einschränkungen
$$ 0 \leq x \leq 1 \land (0 \leq t-x \leq 1 \Leftrightarrow x \leq t \leq x+1 )$$
Also insgesamt
$$ 0 \leq t \leq 2 $$
Und ich denke das sind dann deine Integralgrenzen
Was sagst du dazu?
─ christian_strack 15.06.2021 um 10:54
Wenn
$$ f(x) = 1 $$
dann ist aber auch
$$ f(t-x) = 1 $$
denn egal was wir einsetzen, wir erhalten immer $1$.
Allerdings würde ich sagen beeinflusst das die Indikatorfunktion
Also ich würde sagen es ist
$$ \rho_Y(t-x) = 1 \cdot \textbf 1_{t-x\in[0,1]} $$
Nun würde ich sagen, können wir daraus ein Intervall für $t$ bestimmen. Aus den Indikatorfunktionen folgen die Einschränkungen
$$ 0 \leq x \leq 1 \land (0 \leq t-x \leq 1 \Leftrightarrow x \leq t \leq x+1 )$$
Also insgesamt
$$ 0 \leq t \leq 2 $$
Und ich denke das sind dann deine Integralgrenzen
Was sagst du dazu?
─ christian_strack 15.06.2021 um 10:54
Hm. Ich bin mir nicht sicher. in der Aufgabenstellung ist ja gefordert, dass ich die angegebene Formel nutzen soll.
Ohne Indikatorfunktion wäre das auch kein Problem. Aber so bin ich mir einfach unsicher, wie ich die Ind.fkt, in der Integration handhaben soll. ─ desperatehousewife 15.06.2021 um 17:42
Ohne Indikatorfunktion wäre das auch kein Problem. Aber so bin ich mir einfach unsicher, wie ich die Ind.fkt, in der Integration handhaben soll. ─ desperatehousewife 15.06.2021 um 17:42
Die Indikatorfunktion bezieht sich wie beschrieben auf das Integral. Also die Funktion beeinflusst im Großen und Ganzen die Grenzen. Da bin ich mir absolut sicher. Ich bin mir auch sicher, dass $\rho_Y(t-x) = 1 \cdot \textbf{1}_?$, denn wir haben ja keine Variable in die wir was einsetzen. Bin mir nur unsicher, wie das Einsetzen von $t-x$ sich auf die Indikatorfunktion ausübt.
─
christian_strack
16.06.2021 um 11:04
Ich würde auch sagen, dass $- \frac 1 2$ nicht sein kann, denn das würde eine negative Wahrscheinlichkeit beschreiben.
Allerdings wenn ich so drüber nachdenke, würde bei meinem Ansatz $2$ herausbekommen und das kann ja eigentlich auch nicht sein. Ich denke nochmal drüber nach ─ christian_strack 16.06.2021 um 11:08
Allerdings wenn ich so drüber nachdenke, würde bei meinem Ansatz $2$ herausbekommen und das kann ja eigentlich auch nicht sein. Ich denke nochmal drüber nach ─ christian_strack 16.06.2021 um 11:08
Was hälst du von dem Vorschlag:
$$ \textbf{1}_{[0,1]}(t-x) = \textbf{1}_{[0-t,1-t]}(-x) = \textbf{1}_{[t-1,t]}(x) $$
Nun ist
$$ \int\limits_{\mathbb R} \rho_X(x) \cdot \rho_Y(t-x) \ \mathrm{d}x = \int\limits_{\mathbb R} \textbf{1}_{[0,1]} \cdot \textbf{1}_{[t-1,t]} \ \mathrm{d}x = \int\limits_0^1 \textbf{1}_{[t-1,t]} \ \mathrm{d}x $$
Nun müssen wir gucken, welche Schnittmenge die Intervalle $[0,1]$ und $[t-1,t]$ bilden. Wenn $t <0$, dann ist die Schnittmenge die leere Menge und das Integral gleich Null. Wenn \( t\geq2\), dann haben wir ebenfalls keine Schnittmenge. Für $ 0 \leq t \leq 1$ erhalten wir das Integral
$$ \int\limits_0^t \mathrm dx = t \cdot \textbf{1}_{[0,1]}(t) $$
Für $1 < t < 2 $ erhalten wir dann das Integral
$$ \int\limits_{t-1}^1 \mathrm d x = 1-(t-1) \cdot \textbf{1}_{[1,2]}(t) = (2-t) \cdot \textbf{1}_{[1,2]}(t)$$
Also insgesamt
$$ \rho_{X+Y}(t) = \left\{ \begin{matrix} t , & \text{für} \ t \in [0,1] \\ 2-t , & \text{für} \ t \in ]1,2[ \\ 0 , & \text{sonst} \end{matrix} \right. $$
Wenn wir diese Dichtefunktion über ganz $\mathbb R $ integrieren, erhalten wir auch $1$. Die Normiertheit passt und das ist schon mal ein gutes Zeichen würde ich sagen. ─ christian_strack 16.06.2021 um 12:08
$$ \textbf{1}_{[0,1]}(t-x) = \textbf{1}_{[0-t,1-t]}(-x) = \textbf{1}_{[t-1,t]}(x) $$
Nun ist
$$ \int\limits_{\mathbb R} \rho_X(x) \cdot \rho_Y(t-x) \ \mathrm{d}x = \int\limits_{\mathbb R} \textbf{1}_{[0,1]} \cdot \textbf{1}_{[t-1,t]} \ \mathrm{d}x = \int\limits_0^1 \textbf{1}_{[t-1,t]} \ \mathrm{d}x $$
Nun müssen wir gucken, welche Schnittmenge die Intervalle $[0,1]$ und $[t-1,t]$ bilden. Wenn $t <0$, dann ist die Schnittmenge die leere Menge und das Integral gleich Null. Wenn \( t\geq2\), dann haben wir ebenfalls keine Schnittmenge. Für $ 0 \leq t \leq 1$ erhalten wir das Integral
$$ \int\limits_0^t \mathrm dx = t \cdot \textbf{1}_{[0,1]}(t) $$
Für $1 < t < 2 $ erhalten wir dann das Integral
$$ \int\limits_{t-1}^1 \mathrm d x = 1-(t-1) \cdot \textbf{1}_{[1,2]}(t) = (2-t) \cdot \textbf{1}_{[1,2]}(t)$$
Also insgesamt
$$ \rho_{X+Y}(t) = \left\{ \begin{matrix} t , & \text{für} \ t \in [0,1] \\ 2-t , & \text{für} \ t \in ]1,2[ \\ 0 , & \text{sonst} \end{matrix} \right. $$
Wenn wir diese Dichtefunktion über ganz $\mathbb R $ integrieren, erhalten wir auch $1$. Die Normiertheit passt und das ist schon mal ein gutes Zeichen würde ich sagen. ─ christian_strack 16.06.2021 um 12:08
\(p_{x+y}=\int_\infty^\infty1*1_{x\in[0,1]} * (t-1)*1_{x\in[0,1]} dt = \int_0^1 t-1 dt\)
Also
\(\int t-1 dt= \int t dt - \int 1 dt = \frac{t^2}{2}-t\)
Dann
\(p_{x+y}=[\frac{t^2}{2}-t]_0^1 = -\frac{1}{2}\)
Wäre es so richtig? ─ desperatehousewife 15.06.2021 um 10:08