Näherungsweise Ableitung bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 371     Aktiv: 01.02.2022 um 23:42

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Hallo,
Wir haben folgende Aufgabenstellung, welche wir bearbeiten sollen;

,,Bestimmen Sie näherungsweise die Ableitung der Funktion F an der Stelle x0 = 2 mithilfe des Differenzquotienten für h --> 0."

Folgende Funktionen sind gegeben; 
a) f(x) = x³ 
b) f(x) = 2x² - 3 

Ich verstehe leider nicht ganz, wie ich diese Aufgaben lösen soll, würde aber gerne das System verstehen. Wie genau kann ich bei diesen Aufgaben vorgehen?

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Du musst in den Differenzenquotienten, also $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, deinen jeweiligen Funktionsterm aus a) oder b) und dann deine Stelle einsetzen. Nun kannst du für sehr kleine $h$ eine Näherung an die momentane Steigung berechnen. Kleine $h$ deswegen, weil $h$ ja gegen $0$ streben soll, direkt durch $0$ teilen geht aber nicht.
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Schüler, Punkte: 107

 

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Ich wusste, wie es funktioniert, nach der Erklärung weiß ich es nicht mehr.   ─   monimust 01.02.2022 um 22:31

Verstehe ich, ich hab vergessen, den Differenzenquotienten als solchen überhaupt einzubauen, weswegen Variablen, wie $h$ hier nackt darstehen. Im Erklären bin ich nicht so erfahren, versuche es aber so gut es geht.   ─   radix 01.02.2022 um 23:31

Ah, ich verstehe. Das ist nachvollziehbar. Ich habe die Antwort etwas angepasst. Erstere Formulierung habe ich gewählt, weil es dadurch eventuell sprachlich besser zugänglich wird. Danke für die Hinweise.   ─   radix 01.02.2022 um 23:38

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Weißt du denn was der Differenzenquotient ist und wie darüber die Ableitung einer Funktion definiert werden kann? Das musst du wissen, um die Aufgabe lösen zu können.
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 755

 

Nein, mit dem Begriff kann ich an sich leider nichts anfangen :(
  ─   user5664e9 01.02.2022 um 21:41

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Okay. Die Ableitung an einer Stelle ist durch die Steigung einer Tangente an diesem Punkt definiert. Das funktioniert so, dass man sich zunächst zwei Funktionswerte in einem Intervall $[x;x+h]$ nimmt und eine Sekante durch diese beiden Punkte legt. Nun lässt man den Abstand $h$ immer kleiner werden, sodass es eine Tangente wird, die den Graph nur in einem Punkt berührt. Dieser Sachverhalt bzw. die Steigung dieser Tangente lässt sich durch den Differentialquotienten $\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ausdrücken. Im Internet gibt es dazu einige schöne Animationen.   ─   radix 01.02.2022 um 21:45

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@user5664e9 ihr müsst ja doch etwas dazu im Unterricht gemacht haben, oder?   ─   drbau 01.02.2022 um 21:53

Nicht wirklich, wir sollen uns die Einführungsseiten im Buch durchlesen aber die helfen mir beim Verständnis leider nicht weiter. @drbau
  ─   user5664e9 01.02.2022 um 22:03

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Der Differenzenquotient gibt dir zunächst die mittlere Steigung deiner Funktion in einem bestimmten Bereich an, also z.B. zwischen \(x_1=1\) und \(x_2=2\). Du erhältst die mittlere Steigung dann mit \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\), also als Steigung der Sekante durch die Punkte \((x_1, f(x_1))\) und \((x_2, f(x_2))\). Bevor wir weiter machen die Aufgaben zu lösen, solltest du nun vielleicht dir zunächst für \(f(x)=x^3\) eine Skizze des Graphen anfertigen und dann eine Sekante, wie oben beschrieben, einzeichnen. Verwende hierfür am besten die genannten x-Stellen.   ─   drbau 01.02.2022 um 22:22

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@cauchy: das habe ich mir auch gedacht...   ─   drbau 01.02.2022 um 22:24

Ich meine ich habe es nun ein wenig verstanden, durch ein paar Videos und die netten Kommentare hier. Ich probiere mich einfach mal durch die Aufgaben durch und wenn noch Fragen aufkommen, melde ich mich einfach nochmal.

Herzlichen Dank für eure Hilfe @drbau und @radix :)
  ─   user5664e9 01.02.2022 um 22:27

Sehr gerne, ich freue mich, wenn ich helfen konnte. :)   ─   radix 01.02.2022 um 22:30

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