Ich hab jetzt nicht im Detail geschaut, ob deine Rechnungen stimmen, aber es funktioniert doch immer gleich. Mach halt einen Koeffizientenvergleich, dann hast du ein LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.

Da sind einige Dinge weggelassen, die aber wichtig sind:
Der richtige Ansatz ist:
$\frac{8x^2-4}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}$
Auf der linken Seite fehlt bei Dir der Nenner.
Nun bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner - aber richtig. Dann vergleiche die Zähler.
Zwei der drei gesuchten Parameter $A,B,C$ findet man durch geschicktes Einsetzen von Werten für $x$. Die Gleichung soll ja für alle $x$ gelten.
Den fehlenden entweder durch Einsetzen eines weiteren $x$-Wertes oder Koeffizientenvergleich (bei den $x$-Potenzen) eines Koeffizienten.
Probe nicht vergessen.