Ich bin mir nicht sicher, ob es richtig ist.

Sei f(x) := x^2*e^x für alle x ∈ R. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion f ^(n) (x) = (x^2 + 2nx + n(n − 1))e^x für alle x ∈ R und alle n ∈ N. 

Vorüberlegungen: f(x)=x²+e^x

                             f´(x)=x(x+2)e^x

                             f´´(x)=(x²+4x+2)e^x

IA: n=1

f´(x)=(x²+2*1*x+1(1-1)e^x

=(x^2+2x)e^x

=x^2*e^x+2xe^x

=x(x+2)e^x     w.A.

IV:

f^(n) (x)=(x^2 + 2nx + n(n − 1))e^x  für alle x ∈ R und alle n ∈ N

IB: n --> n+1

f^(n+1) (x)=(x^2 + 2(n+1)x + (n+1)((n+1) − 1))e^x

IS: 

f^(n+1) (x)=d/dx (x²+2nx+(n²-n))e^x

=(2x+2n)e^x+(x²+2nx+(n²-n))e^x

=(x²+2x+2nx+(n²-n)+2n)e^x

=(x²+2x(n+1)+((n+1)²-(n+1)))e^x

=(x²+2xn+2x+n²+n)e^x