Ich bin mir nicht sicher, ob es richtig ist.
Sei f(x) := x^2*e^x für alle x ∈ R. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion f ^(n) (x) = (x^2 + 2nx + n(n − 1))e^x für alle x ∈ R und alle n ∈ N.
Vorüberlegungen: f(x)=x²+e^x
f´(x)=x(x+2)e^x
f´´(x)=(x²+4x+2)e^x
IA: n=1
f´(x)=(x²+2*1*x+1(1-1)e^x
=(x^2+2x)e^x
=x^2*e^x+2xe^x
=x(x+2)e^x w.A.
IV:
f^(n) (x)=(x^2 + 2nx + n(n − 1))e^x für alle x ∈ R und alle n ∈ N
IB: n --> n+1
f^(n+1) (x)=(x^2 + 2(n+1)x + (n+1)((n+1) − 1))e^x
IS:
f^(n+1) (x)=d/dx (x²+2nx+(n²-n))e^x
=(2x+2n)e^x+(x²+2nx+(n²-n))e^x
=(x²+2x+2nx+(n²-n)+2n)e^x
=(x²+2x(n+1)+((n+1)²-(n+1)))e^x
=(x²+2xn+2x+n²+n)e^x
Punkte: 10