Konvergenz harmonischer Reihen

Aufrufe: 182     Aktiv: 25.07.2022 um 17:33

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Hallo, 

ich habe mal eine Frage zur Konvergenz harmonischer Reihen. Man kann die Konvergenz der Reihe 1/k^2 ja dadurch beweisen, dass man zeigt, dass diese monoton steigend und nach oben beschränkt ist. Die Beschränktheit lässt sich durch die Partialbruchzerlegung und einer daraus folgenden Teleskopsumme berechnen, bei der am Ende 2-(1/n) herauskommt, woraus sich schließen lässt, dass die Folge der Partialsummen nach oben durch 2 beschränkt ist. 

Kann ich dann bei Reihen wie 2*1/k^2 ähnlich vorgehen und sagen, dass sie nach oben durch 2*(2-(1/n)) = 4 - (2/n), also durch 4 beschränkt ist ?
Und die Reihe 1/(2k^2) ist durch (1/2) * (2-(1/n)) = 1 - 1/(2n), also durch 1 beschränkt?
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Das könntest Du vereinfachen, indem Du den Beweis versuchst zu übertragen. Beim Aufschreiben der endlichen Summen (also vor der Grenzwertbildung) benutzt Du dann $\sum c\cdot a_n=c\cdot \sum a_n$.
Merkregel: Die meisten Probleme mit dem Summenzeichen verschwinden, wenn man das Summenzeichen ausschreibt - es ist ja nur ein Abkürzungssymbol. Dann braucht man sich auch gar keine Rechenregeln für Reihen zu merken.
Unnd das ist keine harmonische Reihe. Es gibt nur eine harmonische Reihe, und die divergiert. Daher sagt man ja auch "die harmonische Reihe" (nicht "eine").
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Ist doch genau das gleiche Argument. Es kommt ja lediglich ein Faktor dazu. Wenn die Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ beschränkt ist, wie muss denn dann die Folge $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit $b_n\,\colon\!= c\cdot a_n$ mit $c>0$ beschränkt sein? Es ist immer hilfreich, wenn man versucht, solche Dinge zu beweisen.
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Also dann sind die Schranken, welche ich berechnet habe richtig, oder?   ─   usera70f42 25.07.2022 um 12:23

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
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Zuesrt  einmal ein kleiner Hinweis: Die zu diskutierenden Reihen sind nicht harmonisch. Das wären sie nur, wenn ihre Glieder stets das harmonische Mittel seiner beiden nachbarn wäre, wie es bei den Gliedern 1/n der harmonischen Reihe wäre.
Nun zu der Frage: Deine Argumentation ist richtig. Man kann die Konvergenz aber auch nach dem Majorantenkriterium beweisen. Aus diesem folgt, das aus der Konvergent von \(s_n=\sum_{k=0}^{\infty}  a_k\) auch alle Reihen \(c s_n\) konvergieren.
Zum Majorantenkriterium und zur harmonischen Reihe findest Du Videos auf meinem youTube Kanal in der Rubrik "Folgen und Reihen".
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