Ich würde lediglich zeigen können dass \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{4k-1}{7k+3}\right)^k}\) absolut konvergent ist. Also würde ich für \(k\) den Wert Null einsetzen und von der Summe abspalten (Also \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{4k-1}{7k+3}\right)^k} =1+\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{4k-1}{7k+3}\right)^k}\)).

Dann gilt nach dem Wurzelkriterium:

Sei \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}\) eine unendliche Reihe mit komplexen Gliedern und gibt es ein \(0\leq q < 1\), so dass für alle \(k\in \mathbb{N}\) gilt:

\(\sqrt[k]{|a_k|} \leq q\),

dann ist \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}\) absolut konvergent. (Gibt es unendlich viele \(k\in \mathbb{N}\) mit \(\sqrt[k]{|a_k|}>1\), dann divergiert die Reihe.)

Man betrachte nun das Beispiel. Es ist klar, dass \(\dfrac{4k-1}{7k+3} > 0\) für alle \(k\in \mathbb{N}\) erfüllt ist und somit insbesondere auch \(\left(\dfrac{4k-1}{7k+3}\right)^k>0\) gilt.

Damit folgt nun:

\(\sqrt[k]{\left|\left(\dfrac{4k-1}{7k+3}\right)^k\right|} =\sqrt[k]{\left(\dfrac{4k-1}{7k+3}\right)^k} =\dfrac{4k-1}{7k+3} <\dfrac{4k}{7k+3} <\dfrac{4k}{7k}=\dfrac{4}{7} <1.\)

Somit konvergiert also \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{4k-1}{7k+3}\right)^k}\) absolut. Die hinzuaddierte \(1\) dürfte daran nichts ändern. Du kannst das Wurzelkriterium aber nicht auf eine Summe mit Laufindex \(k=0\) anwenden, deswegen musst du das erste Glied separieren.