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Bis vor 15 Min. hatte ich noch nie was vom quadr. RG gehört, daher hab ich mir das bei wikipedia durchgelesen und soviel ist klar, mit den Rechenregeln für das Legendre-Symbol und dem zweiten Ergänzungssatz hat man schnell: $\left(\frac{2^3}{1999}\right) = 1$.
Und $\left(\frac{5^3}{1999}\right)$ berechnet sich auch leicht mit den Rechenregeln und dem Ergebnis aus Aufg. 2 (Deine andere Frage).
Und $\left(\frac{5^3}{1999}\right)$ berechnet sich auch leicht mit den Rechenregeln und dem Ergebnis aus Aufg. 2 (Deine andere Frage).
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.86K
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Beim zweiten also stumpf überprüfen, ob 5 ein quadratischer Rest von 1999 ist?
─ anonymaa0df 15.11.2022 um 14:45
─ anonymaa0df 15.11.2022 um 14:45
Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich überprüfen kann, ob 5 ein quadratischer Rest von 1999 ist…
─
anonymaa0df
15.11.2022 um 14:59
$(\frac{5^3}{1999})$= $(\frac{5}{1999})^3$=$(1)^3$ = $1$. Beim 2. Gleichheitszeichen habe ich verwendet, dass $1999 \equiv -1$ mod 5 ist (Aufgabe 2).
Somit haben wir $(\frac{2^3}{1999})$ $(\frac{5^3}{1999})$= $1*1$=$-1$, wodurch die Gleichung lösbar ist.
─ anonymaa0df 15.11.2022 um 15:37
Somit haben wir $(\frac{2^3}{1999})$ $(\frac{5^3}{1999})$= $1*1$=$-1$, wodurch die Gleichung lösbar ist.
─ anonymaa0df 15.11.2022 um 15:37
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
$(\frac{2^3}{1999})$ = $(\frac{2}{1999})^3$
Nach dem 2. Ergänzungssatz gilt, dass für jede ungerade Primzahl p gilt: $(\frac{2}{p})= (-1)^\frac{p^2-1}{8}$ gilt.
$(\frac{2}{1999})$ = $(-1)^\frac{1999^2-1}{8}$=$1$. Und $1^3$ ist wieder 1.
Zu $(\frac{5^3}{1999})$: 5 und 1999 sind zwei verschiedene ungerade Primzahlen.
Wenn wir die Rechenregel anwenden, ist $(\frac{5}{1999})$ = $(\frac{1999}{5})$ = $(\frac{1999-2^3*5^3}{5})$ = $(\frac{999}{5})$. Da $999 \equiv 4$ mod 5 ist, ist $(\frac{999}{5})$ = $(\frac{4}{5})$ = $(\frac{2^2}{5})$.
$(\frac{2}{5})$ ist -1.und $(\frac{2^2}{5})$= $(\frac{2}{5})^2$ ist 1. (Stimmt die Rechnung soweit?)
Insgesamt: $(\frac{2^3}{1999})$ $(\frac{5^3}{1999})$ = $1*1=1$. Somit ist die Gleichung lösbar. ─ anonymaa0df 15.11.2022 um 14:31