Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Aufrufe: 174     Aktiv: 15.11.2022 um 19:27
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Hallo! 
Ich soll prüfen ob die Gleichung 
$x^2 \equiv 1000$ $(mod \enspace 1999)$ lösbar ist. 
Dazu habe ich von 1000 die Primfaktorzerlegung bestimmt: $1000=2^3*5^3$. 
Ich berechne also: $(\frac{1000}{1999})$ = $(\frac{2^3}{1999})$$(\frac{5^3}{1999})$
Wie gehe ich aber mit dem $2^3$ und $5^3$ um?

$(\frac{2^3}{1999})$ ist ja 1, falls $2^3$ quadratischer Rest ist von 1999. Aber darf ich einfach $2^3$ nehmen oder muss ich nur $2$ betrachten?
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Student, Punkte: 22

 
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1 Antwort
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Bis vor 15 Min. hatte ich noch nie was vom quadr. RG gehört, daher hab ich mir das bei wikipedia durchgelesen und soviel ist klar, mit den Rechenregeln für das Legendre-Symbol und dem zweiten Ergänzungssatz hat man schnell: $\left(\frac{2^3}{1999}\right) = 1$.
Und $\left(\frac{5^3}{1999}\right)$ berechnet sich auch leicht mit den Rechenregeln und dem Ergebnis aus Aufg. 2 (Deine andere Frage).
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Ist folgender Rechenweg richtig:
$(\frac{2^3}{1999})$ = $(\frac{2}{1999})^3$
Nach dem 2. Ergänzungssatz gilt, dass für jede ungerade Primzahl p gilt: $(\frac{2}{p})= (-1)^\frac{p^2-1}{8}$ gilt.
$(\frac{2}{1999})$ = $(-1)^\frac{1999^2-1}{8}$=$1$. Und $1^3$ ist wieder 1.

Zu $(\frac{5^3}{1999})$: 5 und 1999 sind zwei verschiedene ungerade Primzahlen.
Wenn wir die Rechenregel anwenden, ist $(\frac{5}{1999})$ = $(\frac{1999}{5})$ = $(\frac{1999-2^3*5^3}{5})$ = $(\frac{999}{5})$. Da $999 \equiv 4$ mod 5 ist, ist $(\frac{999}{5})$ = $(\frac{4}{5})$ = $(\frac{2^2}{5})$.
$(\frac{2}{5})$ ist -1.und $(\frac{2^2}{5})$= $(\frac{2}{5})^2$ ist 1. (Stimmt die Rechnung soweit?)

Insgesamt: $(\frac{2^3}{1999})$ $(\frac{5^3}{1999})$ = $1*1=1$. Somit ist die Gleichung lösbar.   ─   anonymaa0df 15.11.2022 um 14:31
Beim zweiten also stumpf überprüfen, ob 5 ein quadratischer Rest von 1999 ist?
  ─   anonymaa0df 15.11.2022 um 14:45
Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich überprüfen kann, ob 5 ein quadratischer Rest von 1999 ist…   ─   anonymaa0df 15.11.2022 um 14:59
$(\frac{5^3}{1999})$= $(\frac{5}{1999})^3$=$(1)^3$ = $1$. Beim 2. Gleichheitszeichen habe ich verwendet, dass $1999 \equiv -1$ mod 5 ist (Aufgabe 2).
Somit haben wir $(\frac{2^3}{1999})$ $(\frac{5^3}{1999})$= $1*1$=$-1$, wodurch die Gleichung lösbar ist.
  ─   anonymaa0df 15.11.2022 um 15:37

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