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Wie zeige ich das? Daweil hab ich bewiesen dass <P(M), ∆> eine kommutative Gruppe ist (abelsche Gruppe) und ich versuche jetzt zu beweisen, dass <P(M), ∩> eine Halbgruppe ist. Das bildet ja einen Ring.
Ich hänge grad beim inversen Element vom Durchschnitt fest und weiß nicht was mit Einselement gemeint ist.
Und zuletzt versteh ich die letzte Frage nicht.
Kann mir wer bitte helfen?
Danke!
Edit: in den Lösungen zum Beispiel steht folgendes: für <P(M), ∩>
???? ich versteh nicht warum M das neutrale Element ist, sollte es nicht die leere Menge sein????
außerdem sollte nicht bei einem Ring die "2. Algebraische Struktur" nicht eine Halbgruppe sein, ist das denn überhaupt noch ein Ring wenn die zweite ein Monoid und nicht eine Halbgruppe ist?
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chefbezos
Punkte: 10
Punkte: 10
Es ist $M\cap A=A$, also muss $M$ neutrales Element sein. Es ist doch einfach nur Nachrechnen von Eigenschaften.
─
cauchy
15.01.2023 um 17:07
Zu den algebraischen Strukturen Ringe, Körper, etc. gehören genau 2 verschiedene Operatoren: Die "Addition" und die "Multiplikation". Ein "Einselement" ist ein Element aus der Menge, die der algebraischen Struktur zu Grunde liegt und obige Eigenschaft (bezüglich der "Multiplikation) erfüllt ($\forall x\in M:e*x=x*e=x$), wobei die Multiplikation in deinem Beispiel der Durchschnitt ist. Das neutrale Element der Addition ( $\forall x\in M:e+x=x+e=x$) nennt man Nullelement.
Ein Körper ist ein Ring, in dem jedes Element, bis auf das Nullelement, ein multiplikativ (also auf den Durchschnitt bezogen) Inverses Element hat, du musst also M finden, s.d. ($\forall x\in M^*\exists x^{-1}\in M:x\cap x^{-1}=e=M$).
Das Einselement für die Operation "Vereinigung" ist das Nullelement (leere Menge), denn die Vereinigung einer beliebigen Menge mit der leeren Menge gibt wieder die ursprüngliche Menge. Beim Durchschnitt suchen wir ebenfalls eine Menge A, mit der wir eine beliebige Menge X schneiden können, s.d. $$X\cap A=X$$Man sieht leicht, dass nur die gesamte Menge (in deinem Fall M) dieser Anforderung genügt. Nimmt man beispielsweise die leere Menge, so ergibt sich für eine beliebige Teilmenge X$$X\cap\emptyset=\emptyset$$Achte also darauf, dass du das Null- und Einselement nicht verwechselst. ─ fix 15.01.2023 um 17:10
Ein Körper ist ein Ring, in dem jedes Element, bis auf das Nullelement, ein multiplikativ (also auf den Durchschnitt bezogen) Inverses Element hat, du musst also M finden, s.d. ($\forall x\in M^*\exists x^{-1}\in M:x\cap x^{-1}=e=M$).
Das Einselement für die Operation "Vereinigung" ist das Nullelement (leere Menge), denn die Vereinigung einer beliebigen Menge mit der leeren Menge gibt wieder die ursprüngliche Menge. Beim Durchschnitt suchen wir ebenfalls eine Menge A, mit der wir eine beliebige Menge X schneiden können, s.d. $$X\cap A=X$$Man sieht leicht, dass nur die gesamte Menge (in deinem Fall M) dieser Anforderung genügt. Nimmt man beispielsweise die leere Menge, so ergibt sich für eine beliebige Teilmenge X$$X\cap\emptyset=\emptyset$$Achte also darauf, dass du das Null- und Einselement nicht verwechselst. ─ fix 15.01.2023 um 17:10
Warum du immer Kommentare statt Antworten schreibst, bleibt mir ein Rätsel.
─
cauchy
15.01.2023 um 17:19
@fix super erklärung, aber ich hätt noch eine frage. Die algebraische Multiplikation bezüglich dem Durchschnitt ist ein Monoid. Laut definition ist ja ein besteht ein Ring aus einer abelschen Gruppe und einer Halbgruppe, ist das dann überhaupt noch ein Ring?
─
chefbezos
15.01.2023 um 17:27
Man sagt Es ist ein Ring mit 1! Wenn Multiplikation kommutativ man sagt es ist kommutativer Ring
─
mathejean
15.01.2023 um 17:34