Es gibt einige Standardansätze bei dieser Art von Beweisen.  Du solltest mal im Skript schauen, wie dort Äquivalenzen und Inklusionen von Mengen bewiesen werden und das dann imitieren.  Einige Tipps:

"\(\Leftrightarrow\)" teilt man oft in zwei Schritte auf, "\(\Rightarrow\)" und "\(\Leftarrow\)".

Der Beweis einer Inklusion hat immer dieses Schema: "Sei \(x\in A\).  Dann gilt ... und daher \(x\in B\).  Weil \(x\) aus \(A\) beliebig gewählt war, gilt also \(A\subseteq B\)."  Du musst nur die hier ausgelassenen Schritte vervollständigen.

Eine Gleichheit von Mengen teilt man oft auf in "\(\subseteq\)" und "\(\supseteq\)".

Ich helfe gerne weiter, wenn Du deine Versuche hier präsentierst.