Ich glaube, du hast eine falsche Vorstellung von Faktorräumen. Die Elemente aus \( V/U \) haben die Form \( v+U = \{ v+u \ \vert \ u \in U \} \). Es handelt sich hierbei also um Mengen. Wenn du also eine Basis von \( V/U \) angeben willst, dann muss diese von der Form \( (b_1 + U, \dots, b_n + U) \) sein.

Du kannst so vorgehen: Bestimme zunächst eine Basis \( (b_1, \dots, b_n) \) von \( U \) und ergänze diese zu einer Basis \( (b_1, \dots b_n, b_{n+1} \dots, b_m ) \) von \( V \). Dann bildet \( (b_{n+1}+U, \dots, b_m+U ) \) die gewünschte Basis von \( V/U \), denn:

Aus \( \lambda_{n+1} (b_{n+1}+U) + \dots + \lambda_m (b_m+U) = 0 + U \) folgt \( \lambda_{n+1} b_{n+1} + \dots + \lambda_m b_m \in U \) und somit \( \lambda_{n+1} b_{n+1} + \dots + \lambda_m b_m = \lambda_1 b_1 + \dots + \lambda_n b_n \) für geeignete \( \lambda_1, \dots, \lambda_n\). Und da \( (b_1, \dots b_n, b_{n+1} \dots, b_m ) \) eine Basis von \( V \) ist, folgt somit \( \lambda_i = 0 \). Also sind \( b_{n+1}+U, \dots, b_m+U \) linear unabhängig. Weil \( dim (V/U) = dim (V) - dim(U) = m-n \) ist, muss \( (b_{n+1}+U, \dots, b_m+U ) \) somit schon eine Basis von \( V/U \) bilden.