Vergleichskriterium Konvergenz Reihen

Aufrufe: 122     Aktiv: 18.12.2022 um 19:08

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Guten Tag, könnte mir vielleicht jemand dabei helfen, wie man genau dieses Vergleichskriterium für den Beweis von Divergenz Anwendet, also wie man bei der   b) die divergenz beweist
 

EDIT vom 18.12.2022 um 18:13:

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EDIT vom 18.12.2022 um 18:17:

(In Zeile 3 habe ich 3 mal den Limes vergessen. Und a~b soll natürlich a(k)~b(k) heißen)
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Hapert es an der Aussagenlogik? Reihe divergiert $\iff \neg$ (Reihe konvergiert)
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Achso, also wenn a und b nicht asymptotisch proportional sind, und eine Reihe konvergiert, muss die andere divergieren?   ─   userff1974 18.12.2022 um 16:14

Nein, nicht raten. Die Aussage in a) ist eine Äquivalenz. Die bleibt erhalten, wenn man beide Seiten negiert. Wiederhole die Aussagenlogik - ohne die klappt's mit Beweisen nicht.   ─   mikn 18.12.2022 um 16:23

Danke für die Hilfe! Stimmt es dass wenn a ~ b, a(k) divergent ist, genau dann wenn b(k) divergent ist? Dann könnte man ja für die Reihe bei b) einfach die Folge b(k)=1/k hernehmen, weil sie divergiert. Dann wäre
lim(k—>unendlich)a(k)/b(k)= (k^2)/(k*(k^(1/k))=k/k*(k^(1/k))=1/(k^(1/k))=1 und somit a~b. und weil b(k) divergent a(k) auch divergent?
  ─   userff1974 18.12.2022 um 17:37

Von der Idee her, ja. Aber es geht um die Divergenz der REIHEN, nicht die von $a_k$ und $b_k$. Und ohne Angabe von $a_k$ geht es auch nicht. Schreib es mal geordnet auf.   ─   mikn 18.12.2022 um 17:46

Ok, ich habe das ausformulierte meiner Frage beigefügt   ─   userff1974 18.12.2022 um 18:14

Gut. $a\sim b$ ist ok, das ist ja auch die Schreibweise in der Def.
Bei der 3. Zeile hast Du ja selbst gemerkt, was fehlt. Ich empfehle immer die Schreibweise ohne limes, denn limes darf man erst schreiben, wenn das Ding auch konvergiert - was man ja am Anfang noch nicht weiß.
Also, Muster (ist auch kürzer): $\frac{a_k}{b_k}=... = ... = \frac1{\sqrt[k]k}\longrightarrow 1$
  ─   mikn 18.12.2022 um 18:27

Vielen Dank! Ich hätte bloß nochmal eine kurze Frage zu b) wegen dem Cauchyschen Verdichtungsatz, wonach die vorliegende Reihe das gleiche Konvergenzverhalten, wie die Reihe Summe (k=0, unendlich)2^k / (2^k * (2^k)^(1/k)) = 1/2 haben müsste, was ja ein Widerspruch zum vorherigen Beweis ist. Sollte der Grund dafür auch herausgefunden werden oder reicht es einfach den Widerspruch festzustellen?   ─   userff1974 18.12.2022 um 18:41

Also, selbst ohne Kenntnis des Verdichtungskrit. kann man mit gesundem Menschenverstand natürlich sagen, dass KEIN Widerspruch entsteht. Es gibt in der Mathematik nicht die Situation, dass ein Resultat ein Widerspruch zu einem anderen liefert. Wo kämen wir da auch hin?
Deine Rechnung mit der verdichteten Reihe stimmt nicht, prüfe genau nach. Vermutlich war die Aufgabe dazu gedacht, manchen (wie Dich) auf's Glatteis zu führen.
  ─   mikn 18.12.2022 um 18:51

Achso, ups, ich hab vergessen das k des Grades der Wurzel mit 2^k zu ersetzen. Danke !   ─   userff1974 18.12.2022 um 19:02

Ok, aber danach auch richtig weiterrechnen.   ─   mikn 18.12.2022 um 19:08

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