Question

Die Familie $\{f_{m} \mid m \in M\}$ mit $f_m \in \operatorname{Abb}(M, K)$ ist linear unabhängig

Aufrufe: 844 Aktiv: 05.05.2022 um 21:08

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Aufgabe:
Sei $ \operatorname{Abb}(M, K) $ der Vektorraum aller Abbildung von der Menge $ M $ in den Körper $ K $. Für jedes $ m \in M $ sei ein Vektor $ f_{m} \in \operatorname{Abb}(M, K) $ definiert durch
$
\begin{aligned}
f_{m}: M & \rightarrow K \\
m & \mapsto 1 \\
m^{\prime} & \mapsto 0 \quad\left(\text { für } m^{\prime} \in M-\{m\}\right)
\end{aligned}
$

a) Zeigen Sie, dass die Familie $ \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} $ linear unabhängig ist.
b) Zeigen Sie, dass die Familie $ \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} $ genau dann eine $ \operatorname{Basis} $ von $ \operatorname{Abb}(M, K) $ bildet, wenn $ M $ endlich ist.

Mein Problem bei dieser Aufgabe:
Ich bräuchte etwas Starthilfe. Ich weiß z.B. nicht, wie die Menge $ \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} $ aussieht, ich kann mir da nicht wirklich was drunter vorstellen.

Bei den Übungen, die ich bis jetzt zur linearen Unabhängigkeit gemacht habe, hatte ich immer eine konkrete (v.a. endiche) Menge, wo ich das nachrechnen konnte. Hier kann ich wegen dem obrigen Problem nicht einmal einschätzen, ob die Menge $ \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} $ überhaupt endlich ist.
Ich bedanke mich für jede Form der Hilfe,
~Bene

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gefragt 03.05.2022 um 15:36

bene.id3x
Punkte: 37

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2 Antworten

cauchy · Answer 1 · 2022-05-03T17:42:58Z

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Dann fang mit konkreten Beispielen an. Wähle eine einfache Menge $M$ und bestimme dann die Familie und zeige die lineare Unabhängigkeit.

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geantwortet 03.05.2022 um 17:42

cauchy
Selbstständig, Punkte: 30.55K

Da liegt ja der Hase im Pfeffer xD. Ich kann mit diesen Abbildungsvorschriften irgendwie nicht so viel anfangen. Könntest du mir das exemplarisch an einer beliebigen Menge zeigen (also nur wie die Familie aussieht, nicht die Unabhängigkeit)? ─ bene.id3x 03.05.2022 um 18:06

Ein einfaches Beispiel: $M=\{0,1\}$, $f_0(0)=1$, $f_0(1)=0$, $f_1(0)=0$, $f_1(1)=1$. ─ mathejean 03.05.2022 um 18:48

Danke mathejean, das Beispiel hat geholfen, ich mache das jetzt einmal exemplarisch für $M=\{0,1,2 \}$, dann ist:

$f_0(0)=1$
$f_0(1)=0$
$f_0(2)=0$
$f_1(0)=0$
$f_1(1)=1$
$f_1(2)=0$
$f_2(0)=0$
$f_2(1)=0$
$f_2(2)=1$

Ich habe daraus folgendes Muster erkannt:
$f_m(m)=1$
$f_m(m´)=0$

Jetzt sind ja $f_m \in Abb(M,K)$ nach Aufgabenstellung Vektoren. Kann ich dann zur Prüfung der linearen Unabhängigkeit die beiden Ausdrücke in diese Form umschreiben?:
$\begin{pmatrix} m\\1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} m´\\0 \end{pmatrix}$

Dann würde ich mir zwei Elemente $α,β \in K$ nehmen und die Unabhängigkeit prüfen:
$$α \cdot \begin{pmatrix} m\\1 \end{pmatrix} + β \cdot \begin{pmatrix} m´\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \iff (α,β=0) \vee (α,m´=0)$$

Unter der Prämisse, dass oben die Umschreibung der Ausdrücke in Vektoren zulässig war, stoße ich hier auf das Problem, dass das ganze nur linear unabhängig ist, wenn $m´\neq 0$ ist. Sonst könnte ich ja für $β$ beliebige Werte wählen. Folgt daraus jetzt schon die lineare Abhängigkeit, oder muss ich das lediglich als gesonderten Fall betrachten?

Danke mathejean, das Beispiel hat geholfen, ich mache das jetzt einmal exemplarisch für $M=\{0,1,2 \}$, dann ist:

$f_0(0)=1$
$f_0(1)=0$
$f_0(2)=0$
$f_1(0)=0$
$f_1(1)=1$
$f_1(2)=0$
$f_2(0)=0$
$f_2(1)=0$
$f_2(2)=1$

Ich habe daraus folgendes Muster erkannt: 
$f_m(m)=1$
$f_m(m´)=0$

Jetzt sind ja $f_m \in Abb(M,K)$ nach Aufgabenstellung Vektoren. Kann ich dann zur Prüfung der linearen Unabhängigkeit die beiden Ausdrücke in diese Form umschreiben?: 
$\begin{pmatrix} m\\1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} m´\\0 \end{pmatrix}$

Dann würde ich mir zwei Elemente $α,β \in K$ nehmen und die Unabhängigkeit prüfen:
$$α \cdot \begin{pmatrix} m\\1 \end{pmatrix} + β \cdot \begin{pmatrix} m´\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \iff (α,β=0) \vee (α,m´=0)$$

Unter der Prämisse, dass oben die Umschreibung der Ausdrücke in Vektoren zulässig war, stoße ich hier auf das Problem, dass das ganze nur linear unabhängig ist, wenn $m´\neq 0$ ist. Sonst könnte ich ja für $β$ beliebige Werte wählen. Folgt daraus jetzt schon die lineare Abhängigkeit, oder muss ich das lediglich als gesonderten Fall betrachten?

─ bene.id3x 04.05.2022 um 14:25

Muster ist richtig, der Rest ist leider falsch. Du solltest dir erstmal klarmachen, dass hier der Nullvektor die Nullabbildung ist. Ist also $F:=\sum_{k}\lambda_kf_k=0$ (selbstverständlichnur endliche Summen), heißt das, dass $F(a)=0$ für alle $a\in M$ ─ mathejean 04.05.2022 um 14:33

Ich weiß um ehrlich zu sein nicht wirklich, was ich mit dem Hinweis von mathejean anfangen kann.
Um zz, dass das linear unabhängig ist, muss ja folgendes gelten:
$$\sum \limits_{m=1}^{n} \lambda _m f_m = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1,...,\lambda_n = 0$$
Du sagst: "Der Nullvektor ist die Nullabbildung", aber der Nullvektor ist doch linear abhängig, was ja irgendwo im Widerspruch zur Aufgbenstellung steht.

Ich verstehe halt nicht wirklich was ich mit diesen 2 seperaten Abbildungsvorschriften anfangen soll, wobei es mir eigentlich auch unklar wäre, wenn da nur eine stünde. ─ bene.id3x 04.05.2022 um 16:49

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.

mikn · Answer 2 · 2022-05-04T16:58:06Z

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Kläre vor allem erst die Begriffe und Objekte. "Nullvektor ist lin. abh." macht gar keinen Sinn, weil nur Mengen von Vektoren lin. abh. sein können, nicht ein Vektor für sich.
Die Objekte (Vektoren), um die es geht, sind Funktionen. Für die Funktion $f_m$ gibt es eine Abbildungsvorschrift, die lautet:
$f_m(x):=\begin{cases} 1 & \text{falls } x=m\\ 0 & \text{sonst}\end{cases}$. Das steht in der Aufgabenstellung.
Zeichne mal für den Fall $M=R$ die Graphen der Funktionen $f_1$ und $f_2$.
PS: Wenn die Aufgabe, also die Angaben zu $f_m$, wörtlich so wie in Deiner Frage oben stehen, dann ist das ganz schlecht formuliert und kein Wunder, dass Anfänger da durcheinander kommen.

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geantwortet 04.05.2022 um 16:58

mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.86K

Sorry, die Aussage stimmte so nicht, korrekt wäre: jede Menge die nur den Nullvektor enthält ist lin abhängig und das ist ja dann wieder was ganz anderes.

Die beiden Funktionen habe ich in Geogebra versucht zu zeichnen, ein wirkliches Kunstwerk ist natürlich nicht dabei rum gekommen: https://www.geogebra.org/calculator/mh2zz3fy
Aber dennoch kann ich mir vorstellen, dass die Funktion auf ganz $\mathbb{R} - \{m \}$ Null ist und nur an der Stelle $m$ den Funktionswert 1 annimmt.
Fragestellung die mir gerade gekommen ist: Ich habe ja ggb., dass $f_m \in Abb(M,K)$ ein Vektor definiert. Wenn ich die "Funktionswerte" ausrechne, sind das dann Vektoren oder Skalare?

Nein, die Aufgabenstellung habe ich nicht verändert, dass ist die wörtliche Formulierung. ─ bene.id3x 04.05.2022 um 18:16

Von der Anschauung her, sehr wichtiger Einwand. Cauchy hatte den oben schonmal eingebracht, aber das hatte mich nur noch mehr irritiert. Unter einem Vektor hatte ich mir nicht zwangsläufig ein Element im Vektorraum vorgestellt, sondern sowas hier: $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.
Zurück zur Unabhängigkeit:
Eine (endliche) Familie von Vektoren eines K-VR heißt linear unabhängig, wenn $\forall \lambda_1,...,\lambda_n \in K$ gilt, dass: $\sum \limits_{i=0}^{n}\lambda_i \cdot v_i = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = ... = \lambda_n =0$

(*)In diesem Fall sind also $f_m$ meine Vektoren und für jedes $f_m \exists x=m: f_m(x)=1$ ist. D.h. nur wenn ich $\lambda = 0$ wähle, ist der Ausdruck $\lambda \cdot f_m (x)$ für alle x gleich 0.

Wenn ich die Vektoren jetzt wie folgt aufaddiere:
$$\lambda_1 f_{m_1}+\lambda_2 f_{m_2}+...+\lambda_n f_{m_n}$$
(Hoffe die Notation passt), dann folgt ja immernoch wegen (*), dass $\lambda_1=...=\lambda_n=0$ und somit die lineare Unabhängigkeit.

Das wäre jetzt noch so was mir dazu einfällt.

Von der Anschauung her, sehr wichtiger Einwand. Cauchy hatte den oben schonmal eingebracht, aber das hatte mich nur noch mehr irritiert. Unter einem Vektor hatte ich mir nicht zwangsläufig ein Element im Vektorraum vorgestellt, sondern sowas hier: $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.
Zurück zur Unabhängigkeit:
Eine (endliche) Familie von Vektoren eines K-VR heißt linear unabhängig, wenn $\forall \lambda_1,...,\lambda_n \in K$ gilt, dass: $\sum \limits_{i=0}^{n}\lambda_i \cdot v_i = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = ... = \lambda_n =0$

(*)In diesem Fall sind also $f_m$ meine Vektoren und für jedes $f_m \exists x=m: f_m(x)=1$ ist. D.h. nur wenn ich $\lambda = 0$ wähle, ist der Ausdruck $\lambda \cdot f_m (x)$ für alle x gleich 0.

Wenn ich die Vektoren jetzt wie folgt aufaddiere:
$$\lambda_1 f_{m_1}+\lambda_2 f_{m_2}+...+\lambda_n f_{m_n}$$
(Hoffe die Notation passt), dann folgt ja immernoch wegen (*), dass $\lambda_1=...=\lambda_n=0$ und somit die lineare Unabhängigkeit.

Das wäre jetzt noch so was mir dazu einfällt.

─ bene.id3x 05.05.2022 um 18:38

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.