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Aufgabe:
Sei \( \operatorname{Abb}(M, K) \) der Vektorraum aller Abbildung von der Menge \( M \) in den Körper \( K \). Für jedes \( m \in M \) sei ein Vektor \( f_{m} \in \operatorname{Abb}(M, K) \) definiert durch
\(
\begin{aligned}
f_{m}: M & \rightarrow K \\
m & \mapsto 1 \\
m^{\prime} & \mapsto 0 \quad\left(\text { für } m^{\prime} \in M-\{m\}\right)
\end{aligned}
\)

a) Zeigen Sie, dass die Familie \( \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} \) linear unabhängig ist.
b) Zeigen Sie, dass die Familie \( \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} \) genau dann eine \( \operatorname{Basis} \) von \( \operatorname{Abb}(M, K) \) bildet, wenn \( M \) endlich ist.

Mein Problem bei dieser Aufgabe:
Ich bräuchte etwas Starthilfe. Ich weiß z.B. nicht, wie die Menge \( \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} \) aussieht, ich kann mir da nicht wirklich was drunter vorstellen.

Bei den Übungen, die ich bis jetzt zur linearen Unabhängigkeit gemacht habe, hatte ich immer eine konkrete (v.a. endiche) Menge, wo ich das nachrechnen konnte. Hier kann ich wegen dem obrigen Problem nicht einmal einschätzen, ob die Menge \( \left\{f_{m} \mid m \in M\right\} \) überhaupt endlich ist.
Ich bedanke mich für jede Form der Hilfe,
~Bene
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Dann fang mit konkreten Beispielen an. Wähle eine einfache Menge $M$ und bestimme dann die Familie und zeige die lineare Unabhängigkeit.
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Da liegt ja der Hase im Pfeffer xD. Ich kann mit diesen Abbildungsvorschriften irgendwie nicht so viel anfangen. Könntest du mir das exemplarisch an einer beliebigen Menge zeigen (also nur wie die Familie aussieht, nicht die Unabhängigkeit)?   ─   bene.id3x 03.05.2022 um 18:06

Ein einfaches Beispiel: \(M=\{0,1\}\), \(f_0(0)=1\), \(f_0(1)=0\), \(f_1(0)=0\), \(f_1(1)=1\).   ─   mathejean 03.05.2022 um 18:48

Deswegen fängt man mit einem möglichst einfachen Beispiel an und arbeitet sich dann zum allgemeinen Fall hoch. Mathematische Notation muss man halt verstehen können. Da geht man am besten wirklich Schritt für Schritt vor.   ─   cauchy 03.05.2022 um 20:55

Danke mathejean, das Beispiel hat geholfen, ich mache das jetzt einmal exemplarisch für $M=\{0,1,2 \}$, dann ist:

$f_0(0)=1$
$f_0(1)=0$
$f_0(2)=0$
$f_1(0)=0$
$f_1(1)=1$
$f_1(2)=0$
$f_2(0)=0$
$f_2(1)=0$
$f_2(2)=1$

Ich habe daraus folgendes Muster erkannt:
$f_m(m)=1$
$f_m(m´)=0$

Jetzt sind ja $f_m \in Abb(M,K)$ nach Aufgabenstellung Vektoren. Kann ich dann zur Prüfung der linearen Unabhängigkeit die beiden Ausdrücke in diese Form umschreiben?:
$\begin{pmatrix} m\\1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} m´\\0 \end{pmatrix}$

Dann würde ich mir zwei Elemente $α,β \in K$ nehmen und die Unabhängigkeit prüfen:
$$α \cdot \begin{pmatrix} m\\1 \end{pmatrix} + β \cdot \begin{pmatrix} m´\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \iff (α,β=0) \vee (α,m´=0)$$

Unter der Prämisse, dass oben die Umschreibung der Ausdrücke in Vektoren zulässig war, stoße ich hier auf das Problem, dass das ganze nur linear unabhängig ist, wenn $m´\neq 0$ ist. Sonst könnte ich ja für $β$ beliebige Werte wählen. Folgt daraus jetzt schon die lineare Abhängigkeit, oder muss ich das lediglich als gesonderten Fall betrachten?



  ─   bene.id3x 04.05.2022 um 14:25

Muster ist richtig, der Rest ist leider falsch. Du solltest dir erstmal klarmachen, dass hier der Nullvektor die Nullabbildung ist. Ist also \(F:=\sum_{k}\lambda_kf_k=0\) (selbstverständlichnur endliche Summen), heißt das, dass \(F(a)=0\) für alle \(a\in M\)   ─   mathejean 04.05.2022 um 14:33

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Die Abbildung selbst ist schon der Vektor. Hier muss man nichts umschreiben. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums, das heißt nicht jeder Vektor muss auch die übliche aus der Schule bekannte Gestalt haben.   ─   cauchy 04.05.2022 um 15:01

Ich weiß um ehrlich zu sein nicht wirklich, was ich mit dem Hinweis von mathejean anfangen kann.
Um zz, dass das linear unabhängig ist, muss ja folgendes gelten:
$$\sum \limits_{m=1}^{n} \lambda _m f_m = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1,...,\lambda_n = 0$$
Du sagst: "Der Nullvektor ist die Nullabbildung", aber der Nullvektor ist doch linear abhängig, was ja irgendwo im Widerspruch zur Aufgbenstellung steht.

Ich verstehe halt nicht wirklich was ich mit diesen 2 seperaten Abbildungsvorschriften anfangen soll, wobei es mir eigentlich auch unklar wäre, wenn da nur eine stünde.
  ─   bene.id3x 04.05.2022 um 16:49

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Kläre vor allem erst die Begriffe und Objekte. "Nullvektor ist lin. abh." macht gar keinen Sinn, weil nur Mengen von Vektoren lin. abh. sein können, nicht ein Vektor für sich.
Die Objekte (Vektoren), um die es geht, sind Funktionen. Für die Funktion $f_m$ gibt es eine Abbildungsvorschrift, die lautet:
$f_m(x):=\begin{cases} 1 & \text{falls } x=m\\ 0 & \text{sonst}\end{cases}$. Das steht in der Aufgabenstellung.
Zeichne mal für den Fall $M=R$ die Graphen der Funktionen $f_1$ und $f_2$.
PS: Wenn die Aufgabe, also die Angaben zu $f_m$, wörtlich so wie in Deiner Frage oben stehen, dann ist das ganz schlecht formuliert und kein Wunder, dass Anfänger da durcheinander kommen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 25.49K

 

Sorry, die Aussage stimmte so nicht, korrekt wäre: jede Menge die nur den Nullvektor enthält ist lin abhängig und das ist ja dann wieder was ganz anderes.

Die beiden Funktionen habe ich in Geogebra versucht zu zeichnen, ein wirkliches Kunstwerk ist natürlich nicht dabei rum gekommen: https://www.geogebra.org/calculator/mh2zz3fy
Aber dennoch kann ich mir vorstellen, dass die Funktion auf ganz $\mathbb{R} - \{m \}$ Null ist und nur an der Stelle $m$ den Funktionswert 1 annimmt.
Fragestellung die mir gerade gekommen ist: Ich habe ja ggb., dass $f_m \in Abb(M,K)$ ein Vektor definiert. Wenn ich die "Funktionswerte" ausrechne, sind das dann Vektoren oder Skalare?

Nein, die Aufgabenstellung habe ich nicht verändert, dass ist die wörtliche Formulierung.
  ─   bene.id3x 04.05.2022 um 18:16

In dieser Aufgabe sind die Vektoren (die Elemente des Vektorraums) durchweg Funktionen.
Die $f_m$ kann man nicht gut mit Software zeichnen, eine Skizze von Hand wäre besser. Egal, Hauptsache Du hast nun eine Vorstellung.
Zu der Frage: Du hast doch Funktionswerte ausgerechnet, was kam denn raus? Und wieso Anführungszeichen? Die $f_m$ sind ganz normale Funktionen, wie in der Schule.
  ─   mikn 04.05.2022 um 18:27

Von der Anschauung her, sehr wichtiger Einwand. Cauchy hatte den oben schonmal eingebracht, aber das hatte mich nur noch mehr irritiert. Unter einem Vektor hatte ich mir nicht zwangsläufig ein Element im Vektorraum vorgestellt, sondern sowas hier: $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.
Zurück zur Unabhängigkeit:
Eine (endliche) Familie von Vektoren eines K-VR heißt linear unabhängig, wenn $\forall \lambda_1,...,\lambda_n \in K$ gilt, dass: $\sum \limits_{i=0}^{n}\lambda_i \cdot v_i = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = ... = \lambda_n =0$

(*)In diesem Fall sind also $f_m$ meine Vektoren und für jedes $f_m \exists x=m: f_m(x)=1$ ist. D.h. nur wenn ich $\lambda = 0$ wähle, ist der Ausdruck $\lambda \cdot f_m (x)$ für alle x gleich 0.

Wenn ich die Vektoren jetzt wie folgt aufaddiere:
$$\lambda_1 f_{m_1}+\lambda_2 f_{m_2}+...+\lambda_n f_{m_n}$$
(Hoffe die Notation passt), dann folgt ja immernoch wegen (*), dass $\lambda_1=...=\lambda_n=0$ und somit die lineare Unabhängigkeit.

Das wäre jetzt noch so was mir dazu einfällt.
  ─   bene.id3x 05.05.2022 um 18:38

Vorweg: Deshalb als erstes die Objekte in der Aufgabenstellung klären - da steht ja: ..."Vektorraum der Abbildungen...". Bei allen(!) Aufgaben.
Vielleicht hast Du zu lin. unabh. die richtige Idee. Halte Dich ganz klar an den Ablauf. Der Beweis geht so - Du füllst die Lücken bitte.
Sei $\sum\limits_{m\in M} \lambda_m\cdot f_m = 0$ (rechts steht die Nullfunktion, es ist kein Problem hier alle (also u.U. unendlich viele) zu addieren, warum siehst Du gleich). Z.z. $\lambda_m=0$ für alle $m$. Es gilt also für alle $x\in M$: $\sum....(x) = 0$ (rechts Zahl 0 - immer auf die Objekte achten). Sei nun $m\in M$. Z.z.: $\lambda_m=0$. Insb. haben wir fur $x=m$....., also $\lambda_m=0$ fertig.
  ─   mikn 05.05.2022 um 21:06

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