Spezifika einer Funktion am Intervallrand

Aufrufe: 120     Aktiv: 27.08.2023 um 14:52
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Liebes Forum,

gegeben sei die einfache Funktion f(x)=x^2.
Die soll nun aber nur auf D=R >=0 definiert sein,

1. Hat die Funktion an der Stelle x=0 einen Tiefpunkt? Oder besitzt sie dort lediglich ein globales Minimum? Meine Idee: Der y-Wert eines Tiefpunktes ist immer ein lokales Maximum. Dieses ist der kleinste Funktionswert in einer gewissen UMGEBUNG. Da m.E. eine Umgebung symmetrisch (also nach links und rechts) um die Stelle x=0 liegen muss, gibt es hier kein Umgebung. Ergo kann an der Stelle kein lokales Minimum liegen und der Punkt P (0|0) auch kein Tiefpunkt sein. Da es der global kleinste Wert der Funktion ist, ist 0 jedoch das globale Minimum.

2. Hat die Funktion an der Stelle x=0 die Ableitung f'(0)=0? Oder ist die Funktion dort nicht differenzierbar? Für die diffbarkeit muss ja der beidseitige Grenzwert des Differenzenquotienten exisiteren (und übereinstimmen). Den linksseitigen GW kann m an hier nicht bestimmen. Also ist die Funktion an der Stelle x=0 nicht diffbar?

Danke für eure Rückmeldung!
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2 Antworten
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1. Die Umgebung muss nicht im Definitionsbereich enthalten sein. 

2. Zur Differenzierbarkeit siehe auch https://www.mathefragen.de/frage/q/0e859f3178/differenzierbarkeit-abgeschlossenes-intervall

Am Rand reichen jeweils die entsprechenden einseitigen Grenzwerte.
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Hm. Aber das würde heißen, dass auch am Rand ein lokales Extremum liegen kann…
Das würde aber doch das notwendige Kriterium für lok. Extrema (f‘(x)=0) im Allgemeinen verletzen?   ─   handfeger0 27.08.2023 um 09:16
Auch das wieder Halbwissen. Schau das notwendige Kriterium genau im Wortlaut nach.   ─   mikn 27.08.2023 um 11:33
Habe ich gerade, deshalb auch meine Frage. Kannst du mir nicht helfen?   ─   handfeger0 27.08.2023 um 12:38
Ok. Vielleicht habe ich es:

Ist U ein OFFENES Intervall!!! gilt das bekannte notwendige Kriterium für lokale Extrema.
Schließt man die Grenzen mit ein, liegt an den Grenzen immer ein lokales Extremum.   ─   handfeger0 27.08.2023 um 12:53
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Aha, geht doch.   ─   mikn 27.08.2023 um 13:09
Also kann man auch sagen: Besitzt eine Funktion f auf dem abgeschlossenen Intervall I lokale Extrema, so ist die 1. Ableitung an diesen Stellen entweder gleich null oder die Stelle liegt am Rand des Intervalls.   ─   handfeger0 27.08.2023 um 14:07
Eine Frage habe ich allerdings noch.
Angenommen, f ist auf dem Intervall [a;b] definiert und hat an der Stelle b ein lokales Extremum. Ist der Punkt (b,f(b)) dann auch ein ExtremPUNKT oder ist dieser Begriff den Punkten vorbehalten, welche eine waagerechte Tangente haben?   ─   handfeger0 27.08.2023 um 14:09
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Zum ersten: Kann man nur sagen, wenn f diffbar ist. Und auch nicht mit "entweder... oder", sondern nur mit "oder". Lerne keine unvollständigen Regeln auswendig, sondern verstehe (dass Du etwas verstanden hast, merkst Du daran, dass Du es nicht mehr auswendig lernen musst).
Zur letzten Frage: Ja, ist ein Extrempunkt. Hast Du die Def. von lok. Extremum nun endlich nachgeschaut? In dieser Def. steht nichts von Diffbarkeit. Ich helfe gerne beim Verständnis, aber ich lese keine Definitionen vor. Ich hab den Eindruck, Du hast diese Def. immer noch nicht nachgeschaut - und dann ist klar, dass neue Fragen auftauchen.   ─   mikn 27.08.2023 um 14:51

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Bei math. Begriffen gibt es kein "m.E.", alles ist präzise und eindeutig festgelegt.
Schlag also nach (in Deinen Unterlagen, nicht woanders):

Def. lok. Extremum. Wenn dort "Umgebung" vorkommt -> Def. Umgebung nachschlagen.

Genauso Def. Diffbarkeit nachschlagen. Ziemlich sicher steht dort nichts von links- oder rechtsseitig.

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