Für welche $x∈R$ gilt $(1+x)^n ≥1+nx$ für alle n∈N

Aufrufe: 411     Aktiv: 31.10.2021 um 15:18
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kann mir jemand bei folgender aufgabe helfen?
ich weiß, dass das die bernoullische Ungleichung ist und ich könnte die auch per vollständige Induktion beweisen? aber wie komme ich auf das x? also ich weiß, dass es x>=-1 sein muss, aber wie komme ich darauf?

Für welche $x∈R$ gilt $(1+x)^n ≥1+nx$ für alle $n∈N$
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Stell die Behauptung auf, dass es für x \(\ge\) -1 gilt und zeigt das dann per vollständiger Induktion.
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Achso so einfach ist das? Muss man dann nicht noch zeigen, dass es für zb x<-2 nicht gilt?   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 09:13
Gute Frage. Man hätte ja dann noch den Teil, dass es für x < -1 auch gilt. Da findet sich doch aber sicher ein passendes Gegenbeispiel. Es soll ja für gegebenes x für alle n \(\in \mathbb{N}\) gelten.   ─   lernspass 31.10.2021 um 09:17
Man könnte sich ja mal n = 3 ansehen. Bei x = -2 käme da z.b. -8 \(\ge\) -5 raus, was ja nicht stimmt. Wenn also der Betrag von \((1+x)^3\) \(\ge\) dem Betrag von 1+ 3x für jedes x \(\le\) -1 ist, dann führt das zum Widerspruch der Behauptung, weil beide Seiten negativ sind.   ─   lernspass 31.10.2021 um 11:17
ok danke also reicht das durch ein Beispiel zu zeigen?

ich hab jetzt gesagt, dass x>-1 sein muss weil sonst 0^0 nicht geht (0 ist bei uns eine natürliche zahl) und für x<-1 wäre (1+x)^n<1+n*x   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 13:31
Die Negation ist natürlich x>=-1   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 13:49
Aber ich weiß nicht, wie ich beweisen soll dass es eben für x<-1 nicht gilt   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 13:50
Aber das ist doch kein Beweis… oder?   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 13:53
Also kann ich annehmen, dass x>-1 ist und das dann durch vollständige induktion beweisen?   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 14:02
die aufgabe lautet genauso, wie in der Überschrift
   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 14:11
ok... deswegen habe ich auch gefragt, weil ich mir eben bei der aufgabe nicht wirklich sicher war, ob da wirklich ein beweis oder ähnliches gefordert ist   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 14:33
ok aber vielen dank für die ganzen Überlegungen und tipps... ich hoffe, dass ich dann trotzdem irgendwie ein paar punkte bei der aufgabe bekomme. aber die aufgabe hat mich einfach verwirrt...   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 14:44
Ok ja hab ich schon gemacht 👍🏼Danke   ─   anonymf76f7 31.10.2021 um 15:18

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