Fakultät! Vollständige Induktion

Aufrufe: 3936     Aktiv: 17.06.2020 um 12:12
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Hallo,

ich stehe vor einer Aufgabe, habe dabei eine kleine Verständisfrage. Warum wird aus (n+2) * (n+1)! = (n+2)! 

wird das so berechnet:? Bin mir dabei nicht sicher...

Geg.:

n=3 

n! =1*2* 3* .....( n-1) * n 

1! =1

Lösung:

(n+1)! = n! + 1! 
           = 3 * (3-1)* 3 + 1 
           = 9 - 3*3 + 1   

           = 1 

 

--> (n+2) * 1! = (n+2)! 

         

Ist das so richtig oder was mache ich falsch? Iwie bin ich mir unsicher:/            

wie kommt man auf dieses Ergebnis? : (n+2)! 

Anbei das Bild und die Aufgabe. 

Danke im Voraus!

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Hier erst mal die logische Antwort:

n! = 1 * 2 * 3 * .... *(n-1) * n

(n+1)! sind jetzt alle natürliche Zahlen von 1 bis n+1 mit einander multipliziert:

(n+1)! = 1 * 2* 3 * ... *(n-1) * n * (n+1) 

Wenn man dazu jetzt noch (n+2) multipliziert:

(n+1)! *(n+2)

= 1 * 2* 3 * ...  *(n-1) * n * (n+1) * (n+2) 

sieht man, dass doch das das Produkt aller Zahlen von 1 bis n+2 ist, was ja genau (n+2)! entspricht. 

Verstanden?

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Hi,
vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Das heisst, dass dort nichts verkürzt oder umgeformt wurde oder irgendwelche Zahlen eingesetzt, sondern

Ich nehme hier:

= 1 * 2* 3 * ... *(n-1) * n * (n+1) * (n+2)

und sage dass,

-> 1 * 2* 3 * ... *(n-1) * n * (n+1) = ! (Fakultät ist) und durch das multiplizieren von (n+2) zu ! ergibt sich (n+2)*!

Ist dies so richtig?
Also ich denke ich habe deine Lösung verstanden vllt habe ich es aber schlecht forumliert.
Würde das so passen wie ich das geschrieben hab?   ─   HasretEmreKr 16.06.2020 um 20:11

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Hallo;

Das Fakultätszeichen ist eine Funktion und keine Zahl.

Deshalb schreibt man nicht (n+2)*! sondern (n+2)!

Ich versuch es Dir mal unorthodox zu erklären einfach mit Beispielen.

Vor den Beispiel noch kurz die Grundlagen:

Generell gilt, du multiplizierst alle Zahlen von 1 bis zur Zahl n in der Klammer auf für (n)! die Klammer sind nicht zwingend. Aber sie ermöglichen den Unterschied von 1 + 3! =7 und (1+3)!=24, das wirst du in kürze besser verstehen.

Beispiel

1!= 1

2!= 1 * 2

3!= 1*2*3    

Sei jetzt n=3, dann ist n+1= 4:

4!=(3+1)!=(n+1)!=1*2*3*(n+1)

Wichtig ist n ist ein Element der natürlichen Zahlen, die kann man mit oder ohne Null bestimmen. 

Deshalb hier noch die wichtige "Sonderregel" 0!=1, das wurde so definiert.

Viel Spass !

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Hallo marionussbaumer,

vielen Dank für die Hilfe. Denke ich habe es jetzt ganz verstanden. Leider habe ich keine Literatur gefunden um dieses Thema von Grund auf aufzufrischen.
Habt ihr eine Empfehlung?
Nochmal als Probe: das heisst ja dann wenn ich so wie unten noch (n+3) dazu multipliziere dann würde ich (n+3)! haben.
das wären dann alle natürlichen Zahlen von 1 bis (n+3)

= 1 * 2* 3 * ... *(n-1) * n * (n+1) * (n+2)*(n+3)

Nochmals vielen Dank!!!   ─   HasretEmreKr 16.06.2020 um 22:32

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Ja, genau das ist richtig, also viel mehr zusagen gibt es nicht. 

Falls du Induktionsbeweis kennst, kannst du den noch ausprobieren, das ist bestimmt eine coole Übung, Information zum Thema Induktionsbeweis gibt es auf Youtube, einfach auf dein Beispiel übertragen.

Hier ein paar Tipps:

Induktionsbehauptung: n!=1*2*...*n

Induktionsanfang kannst du n=1 wählen.

Induktionsschritt zeigst du, dann das es für n->n+1 auch war ist.

  

Das Prinzip vom Induktionsbeweis ist, ist das "Domino Prinzip", du zeigst

Induktionsanfang: Der erste Stein fällt um.

Induktionsschritt: Der Stein vor mir ist umgefallen, das heisst ich werde auch umfallen.

Das ist ich wirklich eine wichtige Beweistechnik. 

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