Fakultätsregeln beweisen mit Produktzeichen (n!/k!)

Aufrufe: 74     Aktiv: 10.10.2021 um 12:18

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Hallo zusammen,
kann mir bitte jemand erklären woher ich bei folgenden Term weiß, dass ich hier sowohl oben als auch unter dem Bruchstrich 1*2*3*....k schreibe und dann auch oben (k+1)....n rechne... für mich ist das gänzlich unbegreiflich.... Ich soll beweisen dass aus n!/k! =∏_(i=k+1)^n (i) wird.

Unser Skript sagt:

n!        ∏_(i=1)^n (i)       1 ⋅ 2 ⋅ 3⋯k ⋅ (k + 1)⋯n
_   =  ____________= _____________________ = ∏_(i=k+1)^n (i)
k!         ∏_(i=1)^k (i)      1 ⋅ 2 ⋅ 3⋯k


ich verstehe noch, dass ich den Nenner k! so umforme wie er da steht. Nur der Zähler ist für mich ein absolutes Buch mit 7 Siegeln. Ich verstehe hinten und vorne nicht, was da vor sich geht und wie ich dann darauf komme, dass die Endnotation entsteht.
Ich würde mich wirklich freuen, wenn jemand von euch weiter weiß.
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2 Antworten
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n ist ja größer als k, daher geht es im Zähler noch weiter mit  ×(k+1)×(k+2)×(k+3)..., bis n erreicht ist, und im Nenner hört es bei k auf. Bis dahin kürzt sich dann alles weg. Mach dir ein Zahlenbeispiel.
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selbstständig, Punkte: 9.81K

 

Vielen lieben Dank für deine Antwort! Ich verstehe es hauptsächlich deswegen absolut gar nicht, weil ich schon gar nicht weiß, was k überhaupt im Zähler zu suchen hat.... der Term ist doch nur i in der oberen Produktnotation für den Zähler... wie komme ich denn überhaupt auf die Idee k da mit raufzunehmen?   ─   gast12 10.10.2021 um 10:29

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n und k sind nur weitere Stellvrtreter für die natürliche Zahl i, die schrittweise erhöht wird. I läuft ja von 1 bis n, also z.B. von 1 bis 5. k ist aber kleiner, z.B. 3.
Im Zähler steht dann 1×2×3×4×5 im Nenner 1×2×3, also (3+1)×(3+2) ist der Zähler größer
Sobald du Zahlen verwendest, unterscheidest du ja nicht, ob die oben oder unten stehen.Nur in der Formel muss man das iwie unterscheiden können
  ─   monimust 10.10.2021 um 10:53

Also vielen vielen lieben Dank, das hat mir wirklich schon mal weiter geholfen!
Nur das ich intuitiv eigentlich nur 1*2*3*4...*k *n schreiben würde. Für mich müsste der Term in der Profuktnotation i*k lauten und nicht nur i. Vielleicht kannst du mir noch aufzeigen, wo genau mein Fehler ist, in dieser Denkweise, leider komme ich da einfach nicht drauf.

Ich verstehe auch nicht wirklich, warum du im Nenner (3+1) x (3+2) schreiben würdest? Für mich wäre das 20. 1x2x3 wäre für mich 6.
  ─   gast12 10.10.2021 um 11:07

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(3+1)(3+2) ist in diesem Zahlenbeispiel 20, in einem anderen 12 oder so. Die Schreibweise ist nur die Umsetzung der obigen Formel auf EIN konkretes Beispiel. Sie soll aber für alle Zahlen n,k gelten, daher müssen sie auch unterschieden werden.. Man kann sich die Gültigkeit von Formeln an konkreten Zahlen klar machen, weil man sie rechnen kann. Man kann sie aber nur dann als allgemeingültig ansehen, wenn sie bewiesen sind und das geht nicht mit noch so vielen Zahlenbeispielen.
Zahlen kann man zusammenfassen, Buchstaben nicht. Daher muss man es umständlicher schreiben.

ixk ist aber falsch, das wäre ja im ZahlenBeispiel 15. Es geht nur darum, was bei der Rechnung rauskommt
  ─   monimust 10.10.2021 um 11:25

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Zu dem Beispiel n=5 und k=3

\( \frac{n!}{k!}= \frac{\prod_{i=1}^{n}i}{\prod_{i=1}^ki}\) ist dann \( \frac{\prod_{i=1}^{5}i}{\prod_{i=1}^{3}i} = \frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot3\cdot3}\). Das lässt sich kürzen zu \( 4\cdot5 = 20\) und das ist dann nichts weiter als \( \prod_{i=4}^{5}i\) was dann \(\prod_{i=k+1}^{n}i\) entspricht.

Du darfst dich durch die ganzen Buchstaben nicht verwirren lassen. i wird hier als Laufindex gebraucht und um das Produkt von \(1\cdot2\cdot3\cdot.....\cdot n\) darzustellen. n und k sind dann konkrete Enden für das Produkt. Wobei dann k eben auch in dem Produkt bis n auftaucht, weil k < n ist. \(1\cdot2\cdot3\cdot....\cdot k\cdot .... \cdot n\)
  ─   lernspass 10.10.2021 um 12:04

Dankeschön, jetzt habe ich das endlich verstehen können!!! Auch den anderen vielen herzlichen Dank für eure Mühen! Meinen Sonntag habt ihr mir absolut versüßt   ─   gast12 10.10.2021 um 12:18

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Du kannst doch diejenigen Faktoren, die im Zählerprodukt und im Nennerprodukt gemeinsam vorkommen, nämlich  \(2\cdot 3\cdot...k\) kürzen, dann bleibt im Zähler nur noch  \((k+1) \cdot (k+2)\cdot...n\) und im Nenner \(1\) übrig
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Lehrer/Professor, Punkte: 4.77K

 

Vielen Dank auch für deine Antwort! Das mit dem Kürzen habe ich verstanden, nur eben nicht wie ich überhaupt zu dieser Stelle bzw zu der Form des Terms komme.   ─   gast12 10.10.2021 um 11:10

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