Lineare Gleichungsysteme Verständnisfrage

Aufrufe: 467     Aktiv: 09.02.2021 um 00:57
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Hallo, ich hätte eine Frage zum folgenden LGS:
 

Die Musterlösung gibt drei Fälle an. Einmal für alpha = 1 und für alpha = 0, die beide eine nichttriviale Lösungsmenge beinhalten. Der dritte (triviale) Fall ist alpha ≠ 1,0 mit L = {0}, welche eindeutig lösbar ist.

Ich verstehe nicht ganz genau, warum genau die Fälle 1,0 genommen wurden und warum es für alle anderen alphas aus den reellen Zahlen, L = {0} gilt. Hat es etwas mit den neutralen Elementen des Vektorraumes zu tun?

Ich würde mich über eine Rückmeldung freuen und bedanke mich im voraus.

Valentin

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1 Antwort
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Die Zeilen kannst du auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhägikeit untersuchen.

Bei \(\alpha =0\) kannst du schnell sehen, dass Zeile 2 und 4 identisch sind und damit linear abhängig sind. Das bedeutet, es gibt nichttriviale Lösungen.

Analog kannst du dies bei \(\alpha = 1\) prüfen, mit Zeilen addieren.


Wenn du allerdings von "vorne" das errechnen möchtest, müsstest du z.B. mit den Gauß-Algorithmus ZSF erzeugen oder anders die lineare (Un-)Abhängigkeit nachweisen.

Hilft dir das schon mal weiter?
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Okay das habe ich verstanden, danke. Die ZSF wurde auch in der Übung angewandt, das ist auch nicht mein Problem. Mir ging es eher um das Verständnis, dass man, nachdem man herausgefunden hat, dass alpha = 1 und alpha = 0 eine eindeutige Lösung vorweisen, alle anderen reellen Zahlen ungleich 1, 0 unendlich viele Lösungen besitzen.

Aber das hat dann, wie du schon meintest wahrscheinlich damit zu tun, dass sich für jede beliebige Zahl alpha ungleich 1 & 0, die lineare Abhängigkeit zwischen den einzelnen Gleichungen nicht ändert   ─   maths123 08.02.2021 um 21:38
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Genau, bzw. musst du prüfen, dass für 1&0 die Zeilen linear unabhängig sind.

Um ein Gefühl dafür zu bekommen, kannst ja mal \(\alpha \neq 1 \neq 0\) einsetzen und mit Gauß ausrechnen. Bzw. wenn du schon ZSF ausgerechnet hast, einfach mal einsetzen und prüfen, dass das stimmt :)   ─   math stories 08.02.2021 um 21:45
Okay, dann weiß ich bescheid, danke für die Hilfe!   ─   maths123 09.02.2021 um 00:57

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