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Das ist ein sehr umfassendes Thema und wird erst im zweiten oder dritten Semester im Mathematikstudium gemacht. Schön ist aber das Zitat von hier, das passt bestimmt auch gut in deine Facharbeit: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Integral#Riemann-_und_Lebesgue-Integral (unten)
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mathejean
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