Sinus, Kosinus, Tangens und Umkehrung im rechtwinkligen Dreieck

Aufrufe: 119     Aktiv: 10.11.2022 um 11:03
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Liebes Forum,

streng genommen existieren ja zu die periodischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens (ohne Einschränkung derer Definitionsbereiche) keine Umkehrfunktionen, da diese nicht injektiv sind.

Der Arcussinus ist demnach ganz offiziell die Umkehrfunktion eines Teiles des Sinus (Sinus wird so eingeschränkt, dass er injektiv ist auf dem betrachteten Intervall).

Jetzt zu meiner Frage:

Betrachtet man die trigonometrischen Funktionen NUR im Kontext rechtwinkliger Dreiecke (also Definitionsbereich von 0 bis pi/2), muss man doch die obige Einschränkung bzw. sprachliche Unterscheidung zwischen "Umkehrfunktion vom Sinus" und "Arkussinus" nicht vornehmen, da Sowohl Sinus, als auch Kosinus und Tangens auf I=[0;pi/2] injektiv sind und deren Bilder voll im Definitionsbereich der Arkusfunktionen liegen.

Sprich im rechtwinkligen Dreieck DARF man sagen: Man benutzt die UMKEHRFUNKTION des Sinus (und eben nicht ARKUSSINUS), um z.B. die Gleichung sin(alpha)=0,5 zu lösen. 

Danke!
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Da ist ja gar keine Frage (ich sehe keine), sondern nur ein Statement. Ja, das ist richtig, aber das ist auch gerade der arcsin, den man dann anwendet. Es gibt auch nicht die Umkehrfunktion des sin, es gibt eben viele Umkehrfunktionen. Daher nimmt man den arcsin.
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Hm. Aber der Arkussinus in der herkömmlichen Variante hat ja einen anderen Definitionsbereich?   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:03
Anders als was? Es ist richtig, dass man bei den Umkehrfunktionen der trig. Funktionen etwas aufpassen muss, diese sind u.U. nicht einheitlich definiert. Aber beim sin bzw. arcsin gibt es kein Problem, $\arcsin: [-1,1]\longrightarrow [-\frac\pi2,\frac\pi2]$.   ─   mikn 09.11.2022 um 22:14
„Mein“ Arcsin, der im rechtwinkligen Dreieck agieren soll, wäre aber von (0;1) nach (0;Pi/2)   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:18
Zum Glück ist das aber in der von Dir "herkömmlich" genannten Variante enthalten und stellt daher kein Problem darf. Man bleibt ja im Defbereich.
Blöd wäre, wenn es nicht enthalten wäre.   ─   mikn 09.11.2022 um 22:23
Wie dem auch sei - theoretisch definiere ich mir so ja auch nur einen anderen „arcsin“, da er ja auch nur auf einem Teilintervall definiert ist und nur auf diesem Intervall als Umkehrfunktion agiert.   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:23
Der herkömmliche arcsin agiert auch auf [0,1] als Umkehrfunktion von sin, weil er es ja sogar auf einem größeren Bereich tut. Verstehe nicht, welches Problem Du da siehst.   ─   mikn 09.11.2022 um 22:26
Aber die Umkehrfunktion muss ja als Definitionsbereich den Wertebereich von der eigentlichen Funktion.

Der Sinus bildet aber für Alpha aus (0,Pi/2) nur auf (0,1) ab. Dementsprechend passt das doch nicht ?   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:30
Wieso reicht das denn nicht? Das war doch der Hintergrund Deiner Frage, dass das ja gerade schon reicht (so hatte ich Dich verstanden).
Die Umkehrfunktion von $\sin:[0,\frac\pi2]\to [0,1]$ ist $\arcsin: [0,1]\to [0,\frac\pi2]$, da braucht man auch keinen neuen Namen. Das sind die "herkömmlichen" Funktionen   ─   mikn 09.11.2022 um 22:36
Laut Wiki ist er aber auf [-1;1] definiert …   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:50
Wir drehen uns um Kreis. Welches Problem entsteht für Dich bei Rechnungen im rechtwinkligen Dreieck, konkret?   ─   mikn 09.11.2022 um 22:58
Frage war eigentlich nur: Darf ich den Arcsin (im Falle, dass ich nur rechtwinklige Dreiecke betrachte) als „Umkehrfunktion“ bezeichnen oder nicht .   ─   handfeger0 09.11.2022 um 23:02
Das sage ich ja schon die ganze Zeit, dass Du den arcsin als Umkehrfunktion des sin bezeichnen und benutzen darfst. Weil auf den Intervallen, die in Frage kommen, das eben so ist.   ─   mikn 09.11.2022 um 23:37
Okay. Noch eine letzte Frage:

Ist das Anwenden der Umkehrfunktion von Sinus Cosinus oder Tangens auf eine Gleichung eine Äquivalenzumformung oder nicht ?

Ich frage ausgehend vom folgenden Beispiel:

Alpha=180
Sin(Alpha)=0
Arcsin(Sin(Alpha))=Arcsin(0)
Alpha=0

Demnach habe ich ja Operationen durchgeführt, die keine Äquivalenzumformung sind …

Jetzt ist meine Vermutung, dass das Schon bei der Anwendung des Sinus passiert, da dieser ja insb. nicht injektiv ist (es also unendlich viele Stellen gibt, an denen er 0 wird).

Der Arkussinus alleine, wäre m.E eine Äquivalenzumformung, da er bijektiv ist?   ─   handfeger0 10.11.2022 um 07:28
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Ja, bei der Anwendung des $\sin$ gilt nur $\implies$. Wenn die Vorgabe wäre, dass $\alpha \in [-\frac\pi2,\frac\pi2]$ ist, dann wäre es auch $\iff$. Sonst aber nicht.
Im rechtwinkligen Dreieck haben wir aber diese Vorgabe, daher gilt dort auch $\iff$.
Ja, bei der Anwendung von $\arcsin$ gilt $\iff$, denn die geht ja nur auf dem eingeschränkten Bereich.

   ─   mikn 10.11.2022 um 11:03

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