Sinus, Kosinus, Tangens und Umkehrung im rechtwinkligen Dreieck

Aufrufe: 328     Aktiv: 10.11.2022 um 11:03
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Liebes Forum,

streng genommen existieren ja zu die periodischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens (ohne Einschränkung derer Definitionsbereiche) keine Umkehrfunktionen, da diese nicht injektiv sind.

Der Arcussinus ist demnach ganz offiziell die Umkehrfunktion eines Teiles des Sinus (Sinus wird so eingeschränkt, dass er injektiv ist auf dem betrachteten Intervall).

Jetzt zu meiner Frage:

Betrachtet man die trigonometrischen Funktionen NUR im Kontext rechtwinkliger Dreiecke (also Definitionsbereich von 0 bis pi/2), muss man doch die obige Einschränkung bzw. sprachliche Unterscheidung zwischen "Umkehrfunktion vom Sinus" und "Arkussinus" nicht vornehmen, da Sowohl Sinus, als auch Kosinus und Tangens auf I=[0;pi/2] injektiv sind und deren Bilder voll im Definitionsbereich der Arkusfunktionen liegen.

Sprich im rechtwinkligen Dreieck DARF man sagen: Man benutzt die UMKEHRFUNKTION des Sinus (und eben nicht ARKUSSINUS), um z.B. die Gleichung sin(alpha)=0,5 zu lösen. 

Danke!
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Da ist ja gar keine Frage (ich sehe keine), sondern nur ein Statement. Ja, das ist richtig, aber das ist auch gerade der arcsin, den man dann anwendet. Es gibt auch nicht die Umkehrfunktion des sin, es gibt eben viele Umkehrfunktionen. Daher nimmt man den arcsin.
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Hm. Aber der Arkussinus in der herkömmlichen Variante hat ja einen anderen Definitionsbereich?   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:03
„Mein“ Arcsin, der im rechtwinkligen Dreieck agieren soll, wäre aber von (0;1) nach (0;Pi/2)   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:18
Wie dem auch sei - theoretisch definiere ich mir so ja auch nur einen anderen „arcsin“, da er ja auch nur auf einem Teilintervall definiert ist und nur auf diesem Intervall als Umkehrfunktion agiert.   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:23
Aber die Umkehrfunktion muss ja als Definitionsbereich den Wertebereich von der eigentlichen Funktion.

Der Sinus bildet aber für Alpha aus (0,Pi/2) nur auf (0,1) ab. Dementsprechend passt das doch nicht ?   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:30
Laut Wiki ist er aber auf [-1;1] definiert …   ─   handfeger0 09.11.2022 um 22:50
Frage war eigentlich nur: Darf ich den Arcsin (im Falle, dass ich nur rechtwinklige Dreiecke betrachte) als „Umkehrfunktion“ bezeichnen oder nicht .   ─   handfeger0 09.11.2022 um 23:02
Okay. Noch eine letzte Frage:

Ist das Anwenden der Umkehrfunktion von Sinus Cosinus oder Tangens auf eine Gleichung eine Äquivalenzumformung oder nicht ?

Ich frage ausgehend vom folgenden Beispiel:

Alpha=180
Sin(Alpha)=0
Arcsin(Sin(Alpha))=Arcsin(0)
Alpha=0

Demnach habe ich ja Operationen durchgeführt, die keine Äquivalenzumformung sind …

Jetzt ist meine Vermutung, dass das Schon bei der Anwendung des Sinus passiert, da dieser ja insb. nicht injektiv ist (es also unendlich viele Stellen gibt, an denen er 0 wird).

Der Arkussinus alleine, wäre m.E eine Äquivalenzumformung, da er bijektiv ist?   ─   handfeger0 10.11.2022 um 07:28

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