Lineare Transformation, Matrix, wie bestimme ich Rang und Dim. des Kerns?

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Ich hänge jetzt schon eine Weile an folgender Aufgabe, irgendwie verstehe ich nicht so recht wie man vorgehen muss. Vielleicht ist es auch zu einfach.. 

Mein Ansatz wäre, die Matrix hat vollen Rang, also ist der Rang von T = 2 und da dim(V)= rang(T) + dim(ker(T)) gilt, die Dimension des VRs der Polynome vom Grad <= 3, ist 4 und deshalb ist auch die Dimension des Kerns von T = 2?


Insbesondere verstehe ich nicht, was f(1), f(2) und f(0) konkret bedeuten, sind das die Polynome vom jeweiligen Grad über R? Also f(1) wäre die Polynome vom Grad 1 und f(2) die Polynome vom Grad 2 usw.? 
Wäre es nicht relativ egal welche Zahl in Klammern steht, solange es oben nicht dieselbe ist und geht es dann vor allem darum zu erkennen, dass f(0) eine beliebigen Zahl sein kann und deshalb f(0) nicht zwangsweise 0 ist und der Rang 2 erhalten bleibt (dann müsste man noch einschränken im Falle f(0) ungleich 0, oder?) 

oder geht es darum, dass die 2x2 Matrix vollen Rang hat aus denselbigen Überlegungen wie im Absatz davor und deshalb die Dimension des Kerns 0 sein muss, da es sich nur um eine 2x2 Matrix handelt?

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte das Ganze zu verstehen! 😊

 

Kern und bild Dimension Rang Transformation Lineare abbildung
gefragt 5 Monate, 2 Wochen her
philipplahm
Student, Punkte: 15

 
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1 Antwort
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Mit raten kommt man nicht weit. Da steht ja, was der Def-Bereich von T ist. Wenn also dann irgendwo T(f) steht, ist ja klar, was f sein muss.

Es ist immer sinnvoll sich zuerst zu überlegen von welchen Objekten man redet. Was sind hier Polynome, was sind Zahlen, was Vektoren usw.. Machst Du ja auch, gut. Aber bitte systematisch.

Deine Dimensionsüberlegung wäre geht auch von geratenen Fakten aus. Mir persönlich wäre das zu unsicher, weil es oft nur Frust erzeugt. Also, von gesicherten Fakten ausgehen.

.Die lin. Abb. T (Achtung: T ist NICHT T(f), versch. Objekte!!!). bildet einen Raum der dim. 4 (Polynome) in den Raum der 2x2-Matrizen ab, der auch dim 4 hat. Damit kann die lin. Abb. T durch eine wievielxwieviel Matrix beschrieben werden?

Von da an weiter, aber nicht im Nebel stochern, sondern die Ratschläge oben (Objekte!!!) beherzigen.

 

geantwortet 5 Monate, 2 Wochen her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 10.14K
 
Das ist genau mein Problem, ich rate und bin frustriert wenn es keinen Sinn ergibt. Ok, ich versuche es mal, Definitionsbereich von T ist der VR der Polynome vom Grad <= 3 und wenn dann T(f) da steht, ist f also der Grad der Polynome?
T bildet einen 4 dimensionalen Raum in einen 4 dimensionalen Raum ab, also kann T dann durch eine 4x4 Matrix beschrieben werden? Und dann hat man Rang T = 2 und dim des Kerns von T ebenfalls 2?   ─   philipplahm 5 Monate, 2 Wochen her
T bildet ab von ... nach ... (s.o.), bei T(f) ist also f was für ein Obj und T(f) was für ein Objekt? Das mit 4x4 stimmt, danach rätst Du wieder. Zum Aufstellen der Matrix von T (die ist 4x4) brauchst Du eine Basis für den Def-Bereich und eine für den Bildbereich. Wie sieht die aus?   ─   mikn 5 Monate, 2 Wochen her
Bei T(f) ist f ein Vektor und T(f) eine Matrix?
Die Basis für den Def. - Bereich: B={1, x, x^2, x^3} und die Basis für den Bildbereich ist die Basis für den Raum aller 2x2 Matrizen, also die Elementarmatrizen 1-4, also B={E1, E2, E3, E4}?   ─   philipplahm 5 Monate, 2 Wochen her
Was für ein Vektor? Wo ist denn das Problem. g:A->B dann ist bei g(x) das x aus A und g(x) aus B. Wenn das nicht klar ist, haben wir hier ein Problem.
Das mit den Basen stimmt. Und nun berechne die 4x4-Matrix bzw. welche Gestalt hat die (das reicht ja vielleicht, aber nur wenn die Begründung dazu stimmt)?   ─   mikn 5 Monate, 2 Wochen her
Ich dachte f sei ein Vektor, da wir vom Vektorraum der Polynome vom Grad... ausgehen, aber f ist dann ein Polynom, oder?
Ich verstehe es nicht, wie ich auf die Gestalt der 4x4 Matrix komme, beziehe ich da jetzt T(f) mit ein?   ─   philipplahm 5 Monate, 2 Wochen her
Ja, ich war nicht sicher, ob du mit Vektor das richtige meinst. In diesem Fall ist f ein Polynom. Das natürlich auch ein Vektor ist, als Element eines Vektorraums.
Wie stellst Du sonst eine Matrix zu einer linearen Abbildung auf? Sei A die Matrix zu T. Dann ist die erste Spalte von A das T(b1) zerlegt in der Basis (E1,...E4). usw. b1 ist das erste Element der ersten Basis, also das Polynom b(t)=t ^0. Usw.
   ─   mikn 5 Monate, 2 Wochen her
Okay, also einfach bei 1 verwende ich 1xE1, 0xE2, 0xE3 und 1xE4, bei x verwende ich 1xE1, 0xE2, 0xE3 und 0xE4, lauten die Spalten von A dann: 1001, 1000, 1000, 0000?
Sodass ich eine 4x4 Matrix mit den Zeilen: 1110, 0000, 0000, 1000 erhalte und diese dann auf r.Z.F. zeigt mir Rang von T = 2 und Dim. Kern ebenfalls 2?   ─   philipplahm 5 Monate, 2 Wochen her
Ich komme bei 1 auf 0001, bei x auf -1000, bei x^2 auf -3000 usw. Prüf das nochmal. Den Rang kann man auch an den Spalten ablesen, kein Grund auf Zeilen umzuschalten (kann man machen kommt dasselbe raus).   ─   mikn 5 Monate, 2 Wochen her
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