Lineare Abbildungen: Zeigen, dass f[<T>] = <f[T]>

Erste Frage Aufrufe: 286     Aktiv: 25.04.2023 um 23:53
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Wie zeigt man, dass die lineare Abbildung (f) der linearen Hülle gleich der linearen Hülle der Linearen Abbildung ist?

EDIT vom 25.04.2023 um 23:24:


Das wäre jetzt mein Lösungsansatz. die (1) und (2) über dem = bezieht sich auf die Additivität und Homogenität von lin. Abbildungen.
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Wie man (fast) immer die Gleichheit zweier Mengen zeigt: Man weist $\subseteq$ und $\supseteq$ nach, wie üblich. Also: Sei $u\in$ Menge auf der linken Seite, dann gilt... usw. Das sind zwei Einzeiler (Anwendung der Def. der Linearität von $f$).
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Also die Angabe lautet:
f[< T >] = {f(v) | v ∈ < T >}
< f[T] > = < {f(u) | u∈T} >

Und mein Ansatz:
f[< T >] = f(v) = f(∑ i=1 bis n (λivi) = ∑f(λivi) = ∑λi f(vi) mit vi ∈ T
und
< f[T] > = = ∑ i=1 bis n λi f(ui) = ∑ f(λiui) = f(∑λiui) mit ui ∈ T

Und nachdem ∑λi f(vi) gleich < f[T] > ist und f(∑λiui) gleich f[< T >], ist gezeigt, dass die beiden Mengen übereinstimmen. Ist das so richtig?   ─   user134ac9 25.04.2023 um 23:07
Das ist nicht vernünftig lesbar, weil die spitzen Klammern hier immer einfach verschwinden. Die richtigen Ideen sind aber erkennbar.
Der Beweis ist sehr(!) leicht und kurz, und eignet sich gut, saubere(!) Beweise zu üben. Daher empfehle ich mit "sei...." anzufangen (s.o.). Und achte genau auf die Objekte (in Deiner Argumentation oben gehen Mengen und Vektoren durcheinander).
Wenn Du einen Beweis hast, kannst Du ihn gerne zur Kontrolle als Foto hochladen (dazu oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 25.04.2023 um 23:14
Mit Mengen und Vektoren durcheinander bringen meinst Du, jeweils am Anfang der Zeile, wo ich nach der Menge ein = habe und dann fortfahre?   ─   user134ac9 25.04.2023 um 23:45
In der 3. und 4. Zeile ist das jeweils erste =-Zeichen falsch (weil links Menge, rechts Vektor). Außerdem steht nirgendwo, was u,v, u_i, v_i ist.
Daher nochmal: Schreib den Beweis sauber auf. Du hast anscheinend das wesentliche verstanden, nun bring es auch ordentlich zu Papier. Hier an solchen Mini-Beweisen kannst Du das üben, was Dir später, bei komplizierteren Zusammenhängen, erfolgreiche Beweise überhaupt erst ermöglicht.
Ein Beweis besteht zum großen Teil aus Worten. Also: Sei.... dann gibt es..., dann ist..., also.....   ─   mikn 25.04.2023 um 23:53

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