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Die komplexe Konjugation ist additiv, multiplikativ und lässt die reellen Zahlen fest. Man erhält also
\( f( \overline{z} ) = \sum_{k=0}^n a_k \ \overline{z}^k \) \( = \sum_{k=0}^n a_k \ \overline{z^k} = \sum_{k=0}^n \overline{a_k} \ \overline{z^k} \) \( = \sum_{k=0}^n \overline{a_k \ z^k} \) \( = \overline{ \sum_{k=0}^n a_k \ z^k} = \overline{f(z)} \)
und somit
\( f(\overline{z_0}) = \overline{f(z_0)} = \overline{0}=0 \)
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Dankeschön ja bei reellen Polynomen treten komplexe Nullstellen immer in (konjugierten) Paaren auf.
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ilkercr7.
13.07.2020 um 11:46
Man sollte vielleicht noch erwähnen, dass bei komplexen Polynomen die Nullstellen keinesfalls paarweise auftreten. Das ist nur bei reellen Polynomen der Fall, und man erhält auch nur ein "echtes" Paar, wenn die Nullstellen echt-komplex sind.
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42
13.07.2020 um 11:46