Suche orthogonalen Eigenvektor

Aufrufe: 272     Aktiv: 14.10.2022 um 08:39
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Ich habe einen (v1)  bzw. zwei (v2)  EV einer Matrix gegeben. Gesucht ist ein weiterer Vektor (v3) , der orthogonal zum gegeben EV (v1)  ist, aber trotzdem ein EV der Matrix ist.
Ich habe Probleme einen passenden Ansatz zu finden.

Meine Überlegungen:
v1 und v3 sollen orthogonal sein, Skalarprodukt muss also 0 sein.
Er muss aber auch die Bedingungen für EV erfüllen. Mein Versuch einer Rechnung mit einem Gleichungssystem funtkioniert leider nicht.

Ein Kommolitone erwähnte die orthogonale Projektion. Das fand ich erstmal plausibel. Aber leider habe ich es damit noch nicht geschafft, was mich ein bisschen wundert... hiermit habe ich es geschafft die Bedingung, dass es ein EV ist erlangt, aber irgendwie ist die Orthogonalität nicht hingekommen.

Was meint ihr? Rechenfehler oder falscher Ansatz?

EDIT vom 13.10.2022 um 23:36:

 
Das ist meine Matrix.
Als EV habe ich (2, 1, 0) (v1), aber auch v2 (0, 2, 2) wäre ein EV.

Gesucht ist ein Vektor v3, der orthogonal zu v1 ist, und trotzem ein EV zur Matrix ist.
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Punkte: 10

 
was ist denn genau bekannt? Kannst du ein Bild der gesamten Aufgabenstellung hochladen?   ─   fix 13.10.2022 um 23:25
ich hoffe, so ist es leichter zu verstehen   ─   suche.erhellung 13.10.2022 um 23:36
Was ist so schwer daran, die Aufgabenstellung (im Originalton!) hochzuladen, wenn danach gefragt wird?   ─   cauchy 13.10.2022 um 23:58
Es war nur eine mündliche Aufgabe, ich habe daher keine originale Aufzeichnung!   ─   suche.erhellung 14.10.2022 um 08:39
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1 Antwort
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Wir haben immer noch nicht die Aufgabenstellung im Original, daher ist alles unter Vorbehalt.
Die beiden EVn sind beide EV zum EW 0. Also ist jede Linearkombination der beiden auch wieder EV (zum selben EW). Setze also $v_3=\lambda v_1+\mu v_2$ und $v_3v_1=0$ und wähle $\lambda, \mu$ so, dass beide Gleichungen erfüllt sind. Das ist nicht sonderlich schwierig und schon hat man ein gesuchtes $v_3$.
Auch mit der zusätzlichen Bedingung $v_3v_2=0$ lassen sich leicht $\lambda,\mu$ finden (die beiden Orthogonalitätsbedingungen erfüllen).
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geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Super, vielen Dank!
   ─   suche.erhellung 14.10.2022 um 08:38

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