Beweis, dass 1 nicht der Grenzwert von 1/n ist

Erste Frage Aufrufe: 92     Aktiv: 01.12.2021 um 23:02

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Guten Tag, ich stehe vor vollgendem Problem:

Ich muss ein Beweis dafür aufstellen, dass bei der Folge 1/n der Grenzwert nicht 1 ist. Dieser ist ja bekanntlich 0. Welche Möglichkeiten gibt es dies zu beweisen? Brauch ich dafür Epsillionumgebungen?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen

LG
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Ja. Negiere die Def. des Grenzwerts: Die fängt ja an mit "für alle $\varepsilon>0$ gibt es...", die Negation (also das, was Du beweisen sollst) fängt also an mit "es gibt ein $\varepsilon>0$ so dass für alle....
Bildlich heißt das: ab einem n_0 bleiben alle Folgenglieder außerhalb einer $\varepsilon$-Umgebung von 1. Markiere Dir die Folgenglieder und die Zahl 1 auf einer Zahlengeraden, dann wirst Du schnell ein $\varepsilon$ sehen, dass diese Bedingung erfüllt.
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Könnte man also die Behauptung beispielsweise mit dem Epsillonbereich 0,5 wiederlegen, da nur 1/2 als einziges Folgenglied in dieser E Umgebung drin ist, wenn man für n beliebig einsetzt?   ─   frausch0072 01.12.2021 um 19:42

Ja. Wobei 0.5 nicht so elegant ist, weil ein Folgenglied direkt auf der Kante liegt. Findest Du ein besseres $\varepsilon$, wo die Lage klarer ist? Im Beweis solltest Du $\epsilon$ und dazu ein $n_0$ konkret angeben.   ─   mikn 01.12.2021 um 19:47

Dann würde ich vorschlagen, die Epsillonumgebung 0,45 zu nehmen, da als Folgenglied nur 1/2 drin ist und die restlichen Glieder wie 1/3 1/4 usw außerhalb einer E-Umgebung bis ins unendliche konvergieren würden.
Richtig?
P.s danke für Ihre Hilfe bis hierhin
  ─   frausch0072 01.12.2021 um 19:54

0.45 ist gut, aber prüfe nochmal, welche Folgenglieder drin sind, und welche nicht. Und bitte nicht von "ins unendliche konvergieren" sprechen. "Konvergenz" kommt im Beweis gar nicht vor. Hast Du die Negation komplett aufgeschrieben?   ─   mikn 01.12.2021 um 19:56

1/2 ist meine ich doch nicht in der E umgebung drin, sondern nur die 1. Tut mir leid falls ich erneut falsch liege.
  ─   frausch0072 01.12.2021 um 20:03

Ja, das ist richtig, 0.5 ist nicht drin (bei eps=0.45).   ─   mikn 01.12.2021 um 20:06

Gut, dann habe ich denke ich den Ablauf verstanden. Somit gäbe es einen Widerspruch in der Definition des Grenzwertes , da endlich viele Folgenglieder in jenem Epsillonbereich vorliegen würden. In dem Fall nur die 1   ─   frausch0072 01.12.2021 um 20:13

Ja, genau. Das ist die Idee dahinter.   ─   mikn 01.12.2021 um 21:43

Ich danke Ihnen   ─   frausch0072 01.12.2021 um 21:46

Gerne. Wenn alles klar ist, bitte als beantwortet markieren, damit die Helfer die noch unbeantworteten besser erkennen können.   ─   mikn 01.12.2021 um 22:03

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Man kann auch einfach beweisen, dass der Grenzwert 0 ist. Dann hat man ja auch gezeigt, dass der Grenzwert nicht 1 ist...

Man kann auch zeigen, dass die Folge monoton fallend ist und das Maximum bei 1 liegt und folglich als Grenzwert ebenso nicht in Frage kommt. 

Wenn also nicht vorgegeben ist, wie das zu beweisen ist, darfst du prinzipiell alles benutzen, was Sinn ergibt.
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