Beweis, dass 1 nicht der Grenzwert von 1/n ist

Erste Frage Aufrufe: 372     Aktiv: 01.12.2021 um 23:02
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Guten Tag, ich stehe vor vollgendem Problem:

Ich muss ein Beweis dafür aufstellen, dass bei der Folge 1/n der Grenzwert nicht 1 ist. Dieser ist ja bekanntlich 0. Welche Möglichkeiten gibt es dies zu beweisen? Brauch ich dafür Epsillionumgebungen?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen

LG
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2 Antworten
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Ja. Negiere die Def. des Grenzwerts: Die fängt ja an mit "für alle $\varepsilon>0$ gibt es...", die Negation (also das, was Du beweisen sollst) fängt also an mit "es gibt ein $\varepsilon>0$ so dass für alle....
Bildlich heißt das: ab einem n_0 bleiben alle Folgenglieder außerhalb einer $\varepsilon$-Umgebung von 1. Markiere Dir die Folgenglieder und die Zahl 1 auf einer Zahlengeraden, dann wirst Du schnell ein $\varepsilon$ sehen, dass diese Bedingung erfüllt.
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Könnte man also die Behauptung beispielsweise mit dem Epsillonbereich 0,5 wiederlegen, da nur 1/2 als einziges Folgenglied in dieser E Umgebung drin ist, wenn man für n beliebig einsetzt?   ─   frausch0072 01.12.2021 um 19:42
Dann würde ich vorschlagen, die Epsillonumgebung 0,45 zu nehmen, da als Folgenglied nur 1/2 drin ist und die restlichen Glieder wie 1/3 1/4 usw außerhalb einer E-Umgebung bis ins unendliche konvergieren würden.
Richtig?
P.s danke für Ihre Hilfe bis hierhin   ─   frausch0072 01.12.2021 um 19:54
1/2 ist meine ich doch nicht in der E umgebung drin, sondern nur die 1. Tut mir leid falls ich erneut falsch liege.
   ─   frausch0072 01.12.2021 um 20:03
Gut, dann habe ich denke ich den Ablauf verstanden. Somit gäbe es einen Widerspruch in der Definition des Grenzwertes , da endlich viele Folgenglieder in jenem Epsillonbereich vorliegen würden. In dem Fall nur die 1   ─   frausch0072 01.12.2021 um 20:13
Ich danke Ihnen   ─   frausch0072 01.12.2021 um 21:46

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Man kann auch einfach beweisen, dass der Grenzwert 0 ist. Dann hat man ja auch gezeigt, dass der Grenzwert nicht 1 ist...

Man kann auch zeigen, dass die Folge monoton fallend ist und das Maximum bei 1 liegt und folglich als Grenzwert ebenso nicht in Frage kommt. 

Wenn also nicht vorgegeben ist, wie das zu beweisen ist, darfst du prinzipiell alles benutzen, was Sinn ergibt.
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