Vollständige Induktion macht keinen Sinn bei dieser Annahme

Erste Frage Aufrufe: 120     Aktiv: 19.12.2021 um 17:15

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Hallo Leute und zwar gibt es eine Aufgabe die lautet:
Zu beweisen gilt P(n): 1+3+5+...+(2n+1) = (n+1)^2
Mache ich also den ersten Schritt und zwar den Induktionsanfang muss ich für n die kleinste, natürliche Zahl bestimmen, also n = 1, aber wenn ich dann das ausrechne, dann komme ich auf 3 = 4, eine unwahre Aussage. In der Lösung steht für die linke Seite 1 + 3 und für die rechte Seite 4. Meine Frage ist, wieso man 1 + 3 gerechnet hat.
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Weil da 1+3 links steht. Das ist doch eine Summe, die bei 1 startet und bei 2n+1 endet.
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also würde das bedeuten 1 + (2n+1)
was ist dann mit der Aufgabe: P(n): 1+2+3+ ... + n = (n(n + 1))/2
dann würde man wieder bei 1 beginnen auch für n = 1:
1+n = (n(n + 1))/2
2 = 1 unwahr


  ─   adoniszgks 18.12.2021 um 19:59

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Nein, denn $P(1)=1$. Also $1=1$. Nicht $1+n$. Die Schreibweise $1+2+3+\ldots+n$ bedeutet: rechne alle Zahlen bis $n$ zusammen. Wenn $n=1$ ist, hast du ja nur die $1$.   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:05

Ich kann es Dir auch nicht anders hinschreiben als in der Aufgabe. Wofür, denkst Du, stehen denn die Pünktchen? Im ersten Beispiel: n=1: Summe von 1 bis 2*1+1=3, also 1+3. Für n=2: Summe von 1 bis 2*2+1=5, nochmal Summe von bis, nicht Summe aus und . Also (n=2): 1+3+5. Usw.
Mache unbedingt erstmal die Aufgaben zu Summen und Summenzeichen. Erst wenn das verstanden (absolut sicher verstanden) ist, macht eine Aufgabe zur Induktion Sinn.
  ─   mikn 18.12.2021 um 20:10

Wenn die Aussagen so wie hier geschrieben vorliegen, wag ich zu bezweifeln, dass die Summenschreibweise eingeführt wurde...   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:15

mikn merkst du selber nicht, dass du sagst:
,,Im ersten Beispiel: n=1: Summe von 1 bis 2*1+1=3“, für die linke Seite.
Aber wenn man für die rechte Seite auch n = 1 einsetzt:
(n+1)² = (1+1)² = (2)² = 4
Man hat dann eine unwahre Aussage 3 = 4 !!!! Wie soll ich da weiter machen mit Induktion?
Ich verstehe nicht wirklich was ich falsch mache..

  ─   adoniszgks 19.12.2021 um 14:22

\(1+(2*1 +1)=1+3=4 =(1+1)^2=2^2=4\)   ─   scotchwhisky 19.12.2021 um 15:17

Ich hatte dabei geschrieben, "also 1+3", Den Teil musst Du schon mitlesen.   ─   mikn 19.12.2021 um 15:20

Aber wie kommt man darauf die 1 noch dazu zu rechnen?
In der Aufgabe zum Beispiel: P(n): 1+3+5+7+...+(2n-1)=n²
da rechnet man auch so, also n = 1 und setzt das ein ohne noch die 1 zu addieren...
(2n-1)=n²
2*1-1 = 1²
2-1 = 1²
1 = 1
  ─   adoniszgks 19.12.2021 um 17:11

$2n-1=1$ für $n=1$, das heißt du berechnest hier also nur die Summe von 1 bis 1. Und da kommt eben nur die 1 als Summand dann vor. Mache dir bitte deutlich, was die Schreibweise mit den $\dots$ bedeutet.   ─   cauchy 19.12.2021 um 17:15

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