Kurvenintegral Rechnung vereinfachen

Aufrufe: 523     Aktiv: 27.01.2021 um 00:15
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Hallo, kann mir jemand beim zweiten Integral helfen? Muss ich wirklich erstmal einsetzen, dann substiuieren und berechnen. Gibt es da keinen einfacharen Weg ? 

 

Danke! 

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Zeige, dass \(g\) eine Stammfunktion besitzt. Das ist der einfachere Weg.

Hilft das?

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Das Wegintegral ist dann einfach die Differenz der Werte der Stammfunktion im End- und Anfangspunkt (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Das Thema solltet Ihr schon gehabt haben. Ein Wegintegral musst Du nicht mehr berechnen.   ─   slanack 26.01.2021 um 20:14
Stimmt stimmt, danke :)   ─   helene20 27.01.2021 um 00:15

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Wenn man weiß, dass Gradientenfelder wegunabhängig sind, dann kann man die Sache erheblich vereinfachen.

Mit \( \vec{h}(x,y) = - \cos(\pi x^2y) \) erhält man \( \vec{g}(x,y) = \nabla \vec{h}(x,y) \).

\( \vec{g} \) ist also ein Gradientenfeld. Somit ist das Integral wegunabhängig. Man kann also anstelle von \( \vec{x} \) auch über jede andere Kurve mit Startpunkt \( \vec{x}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \) und Endpunkt \( \vec{x}(1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \) integrieren und erhält den gleichen Wert des Integrals.

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Student, Punkte: 7.02K

 
Hallo, Danke ich hab das auch so gemacht und die Kurve x: [0,1] -> R² mit x(t) = (t , 5t+2) gewählt.
Beim integrieren fällt mir nun das substituieren schwer. Da komm ich nicht ganz weiter   ─   helene20 26.01.2021 um 19:47
Man muss die Kurve gar nicht angeben. Der Wert des Integrals ist einfach \( \vec{h}(\vec{x}(1)) - \vec{h}(\vec{x}(0)) \). Das ist auch das, worauf die Antwort von slanack abzielt.   ─   42 26.01.2021 um 21:24
Ah stimmt natürlich, danke :)
   ─   helene20 27.01.2021 um 00:14

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