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Wenn schon bekannt (in der Lehrveranstaltung nachgewiesen) ist, das $\frac1x\to 0$ gilt, und dazu die Grenzwertsätze (Produkt konvergenter Folgen ist konvergent), dann reicht Deine Zerlegung in die 4 Summanden vollkommen aus als solider Nachweis (mit entsprechender Erklärung und Erwähnung der bereits bekannten Ergebnisse).
Wenn Du aber trotzdem ein N bestimmen möchtest, dass die eps-Bedingung erfüllt:
Bestimme für jeden der vier Summanden ein $N_0$, so dass |Summand| $<\frac{\varepsilon}4$ für alle $N>N_0$. Nennen wir die mal $N_{01},...,N_{04}$. Setze dann $N_0:=\max \{N_{01},N_{02},N_{03},N_{04}\}$. Dann gilt für alle $N>N_0$:
$|Summand1+Summand2+Summand3+Summand4-0| \le|Summand1|+|Summand2|+|Summand3|+|Summand4| < \varepsilon$.
Wenn Du aber trotzdem ein N bestimmen möchtest, dass die eps-Bedingung erfüllt:
Bestimme für jeden der vier Summanden ein $N_0$, so dass |Summand| $<\frac{\varepsilon}4$ für alle $N>N_0$. Nennen wir die mal $N_{01},...,N_{04}$. Setze dann $N_0:=\max \{N_{01},N_{02},N_{03},N_{04}\}$. Dann gilt für alle $N>N_0$:
$|Summand1+Summand2+Summand3+Summand4-0| \le|Summand1|+|Summand2|+|Summand3|+|Summand4| < \varepsilon$.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K
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Ich habe jetzt die Summanden soweit bestimmt. Nach den ganzen Umformungen erhält man:
$$N_1:\sqrt{\frac{40}{\epsilon}}; N_2: \sqrt[4]{\frac{300}{\epsilon}}; N_3: \sqrt[6]{\frac{1000}{\epsilon}}; N_4: \sqrt[8]{\frac{1250}{\epsilon}}$$
Sei: $$ N_0:= max \{N_1,N_2,N_3,N_4\}$$
Dann gilt für alle $x>N_0$:
$$|a_x-0| \leq |a_1|+|a_2|+|a_3|+|a_4| < \epsilon $$ q.e.d. Für $a_x$ und $N_{1-4}$ würde ich dann noch die Ausdrücke einsetzte. Wäre der Beweis denn so vollständig? ─ xedric 08.11.2021 um 18:35
$$N_1:\sqrt{\frac{40}{\epsilon}}; N_2: \sqrt[4]{\frac{300}{\epsilon}}; N_3: \sqrt[6]{\frac{1000}{\epsilon}}; N_4: \sqrt[8]{\frac{1250}{\epsilon}}$$
Sei: $$ N_0:= max \{N_1,N_2,N_3,N_4\}$$
Dann gilt für alle $x>N_0$:
$$|a_x-0| \leq |a_1|+|a_2|+|a_3|+|a_4| < \epsilon $$ q.e.d. Für $a_x$ und $N_{1-4}$ würde ich dann noch die Ausdrücke einsetzte. Wäre der Beweis denn so vollständig? ─ xedric 08.11.2021 um 18:35
Wunderbar, dank dir. Wir hatten zum Thema Definitionen von Konvergenz auch einen Satz der besagt: Der Grenzwert von a einer konvergenten Folge $a_n$ ist eindeutig bestimmt. Also:
$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$$
Gilt da auch die Umkehrung, also wenn die Folge einen Grenzwert hat, dann ist sie auch konvergent? ─ xedric 08.11.2021 um 19:25
$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$$
Gilt da auch die Umkehrung, also wenn die Folge einen Grenzwert hat, dann ist sie auch konvergent? ─ xedric 08.11.2021 um 19:25
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Wenn ich z.B. ein $N_0$ für $\frac{-10}{x^2}$ bestimmen möchte, dann habe ich da ja sowas stehen:
$$|\frac{-10}{x^2}| < \frac{\epsilon}{4} \iff \frac{-10}{x^2}< \frac{\epsilon}{4} \iff 10 < \frac{x^2\epsilon}{4} \iff \frac{40}{\epsilon} < x^2$$
Wenn ich hier jetzt die Ungleichung weiter lösen möchte, dann muss ich ja die +/-Wurzel ziehen, wird dann denn auch für jeden Summanden eine Fallunterscheidung fällig? ─ xedric 08.11.2021 um 16:06