Konvergenz von Folge untersuchen

Erste Frage Aufrufe: 77     Aktiv: 08.11.2021 um 19:48

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Ich habe hier eine Folge von der ich die Konvergenz nachweisen soll:
$$a_x:=\frac{{\mathrm{(}\mathrm{x}^\mathrm{3}\mathrm{-5x)} }^\mathrm{4}\mathrm{-}x^{12}}{2x^{12}}$$
Ich habe das ganze jetzt so weit umgeformt, dass man den Grenzwert offentsichtlich erkennen kann:
$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-10}{x^2}+\frac{75}{x^4}-\frac{250}{x^6}+\frac{625}{2x^8} = 0$$
Daraus folgt:
$$\forall \epsilon>0 \exists N\in{N}\forall x\geq N: |\frac{{\mathrm{(}\mathrm{x}^\mathrm{3}\mathrm{-5x)} }^\mathrm{4}\mathrm{-}x^{12}}{2x^{12}}-0|<\epsilon$$
Und ab hier weiß ich um ehrlich zu sein nicht weiter, wie ich N vernünpftig abschätzen soll, bzw. wie man das in Abhängigkeit von Epsilon herleiten kann. Kann mir da jemand weiterhelfen?

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unter der voraussetzung, dass deine umformungen stimmen: der grenzwert der summe konvergenter folgen ist die summe der grenzwerte.   ─   zest 08.11.2021 um 15:17
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Wenn schon bekannt (in der Lehrveranstaltung nachgewiesen) ist, das $\frac1x\to 0$ gilt, und dazu die Grenzwertsätze (Produkt konvergenter Folgen ist konvergent), dann reicht Deine Zerlegung in die 4 Summanden vollkommen aus als solider Nachweis (mit entsprechender Erklärung und Erwähnung der bereits bekannten Ergebnisse).
Wenn Du aber trotzdem ein N bestimmen möchtest, dass die eps-Bedingung erfüllt:
Bestimme für jeden der vier Summanden ein $N_0$, so dass |Summand| $<\frac{\varepsilon}4$ für alle $N>N_0$. Nennen wir die mal $N_{01},...,N_{04}$. Setze dann $N_0:=\max \{N_{01},N_{02},N_{03},N_{04}\}$. Dann gilt für alle $N>N_0$:
$|Summand1+Summand2+Summand3+Summand4-0| \le|Summand1|+|Summand2|+|Summand3|+|Summand4| < \varepsilon$.
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Erstmal viele Dank für deine Antwort. Eine Nachfrage habe ich jedoch:
Wenn ich z.B. ein $N_0$ für $\frac{-10}{x^2}$ bestimmen möchte, dann habe ich da ja sowas stehen:
$$|\frac{-10}{x^2}| < \frac{\epsilon}{4} \iff \frac{-10}{x^2}< \frac{\epsilon}{4} \iff 10 < \frac{x^2\epsilon}{4} \iff \frac{40}{\epsilon} < x^2$$
Wenn ich hier jetzt die Ungleichung weiter lösen möchte, dann muss ich ja die +/-Wurzel ziehen, wird dann denn auch für jeden Summanden eine Fallunterscheidung fällig?
  ─   xedric 08.11.2021 um 16:06

Da wir ja $x\to\infty$ betrachten, interessieren uns nur positive $x$-Werte (und auch nur ziemlich große). Sonst - da hast Du recht - müsste man hier aufpassen. Die Wurzeln sind daher alle unproblematisch. Beachte auch: wir brauchen nur $x>N_0\Longrightarrow ... <\varepsilon$, keine Äquivalenz.
Du kannst also oben drüber schreiben: "Im folgenden sei stets $x>0$."
  ─   mikn 08.11.2021 um 16:11

Ich habe jetzt die Summanden soweit bestimmt. Nach den ganzen Umformungen erhält man:
$$N_1:\sqrt{\frac{40}{\epsilon}}; N_2: \sqrt[4]{\frac{300}{\epsilon}}; N_3: \sqrt[6]{\frac{1000}{\epsilon}}; N_4: \sqrt[8]{\frac{1250}{\epsilon}}$$
Sei: $$ N_0:= max \{N_1,N_2,N_3,N_4\}$$
Dann gilt für alle $x>N_0$:
$$|a_x-0| \leq |a_1|+|a_2|+|a_3|+|a_4| < \epsilon $$ q.e.d. Für $a_x$ und $N_{1-4}$ würde ich dann noch die Ausdrücke einsetzte. Wäre der Beweis denn so vollständig?
  ─   xedric 08.11.2021 um 18:35

Ja. Für N1-N4 brauchst Du aber die Ausdrücke nicht einsetzen. Dass a_x gleich der Summe der a_i ist und wie diese def. sind, sollte gleich am Anfang stehen. Dann ist alles da, was da sein sollte.   ─   mikn 08.11.2021 um 18:49

Wunderbar, dank dir. Wir hatten zum Thema Definitionen von Konvergenz auch einen Satz der besagt: Der Grenzwert von a einer konvergenten Folge $a_n$ ist eindeutig bestimmt. Also:
$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$$
Gilt da auch die Umkehrung, also wenn die Folge einen Grenzwert hat, dann ist sie auch konvergent?
  ─   xedric 08.11.2021 um 19:25

Dass eine Folge einen (erstmal: mindestens einen) Grenzwert hat, ist gleichbedeutend mit Konvergenz. Zwei äquivalente Sprechweisen. Üblicherweise sagt man: "Eine Folge heißt konvergent, wenn es ein a gibt mit .... (blabla mit epsilon und N0). Dieses a heißt Grenzwert". Eine beweisbare Folgerung davon ist, dass es nur einen Grenzwert gegen kann.
Kurz: "konvergent $\iff$ (per Def.) hat mind. einen Grenzwert" $\iff$ (per Beweis) hat einen eindeutigen Grenzwert.
  ─   mikn 08.11.2021 um 19:48

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