Hallo. Lässt sich S3 als direktes Produkt zweier nicht-trivialer Untergruppen schreiben?

Aufrufe: 174     Aktiv: 09.02.2024 um 17:20
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Moin,

Nehme an, es gebe Untergruppen $G, H \subset S_3$ mit $G \times H = S_3$. Jetzt wissen wir, dass $|H|= 2$ und $|G|=3$, also $G \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ und $H \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, insbesondere H und G abelsch. Also ist auch $G \times H$ abelsch (warum?). Wieso sind wir dann schon fertig?

LG
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Student, Punkte: 3.82K

 
Moin,
Also die Antwort ist nein ?Oder ja?
S3 lässt sich nicht schreiben als direkte produkt 2 Untergruppen?   ─   usere2abde 09.02.2024 um 12:17
Kannst du bitte mehr erklären?🥹   ─   usere2abde 09.02.2024 um 12:23
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Die Antwort ist nein. Und ich habe absichtlich nicht alles in aller Ausführlichkeit geschrieben. Du sollst die Lösung anhand meiner Anleitung selbst erarbeiten, sonst lernst du nichts. Du musst also meinen Argumenten folgen uns ausführen, warum sie gelten. Fang erstmal schritt für schritt an und wenn es noch Probleme gibt können wir darüber reden
   ─   fix 09.02.2024 um 15:05
Weil G×H ist abelsch und G und H sind Normalteiler , weil die Definition von direktem Produkt sagt, dass alle Faktoren von direktem produkt normalteiler sind . Aber S3 ist nicht abelsch also G und H können nicht normalteiler sein ..Also Widerspruch
Richtig so ?🥹   ─   usere2abde 09.02.2024 um 15:34
Wenn man weiß, dass GxH abelsch ist, ist man schon fertig denn $S_3$ ist bekanntermaßen nicht abelsch. Aber man muss begründen warum GxH nicht abelsch ist - das ist der relevante Teil.   ─   fix 09.02.2024 um 16:09
Ok.
G×H ist nicht abelsch, weil G×H isomrph zu S3 sein muss und S3 ist nicht abelsch?
So ?   ─   usere2abde 09.02.2024 um 16:20
🤕   ─   usere2abde 09.02.2024 um 16:24
Ja. Wie gesagt muss man den ersten Teil jetzt noch beweisen.   ─   fix 09.02.2024 um 16:54
Welchen Teil meinst du ?   ─   usere2abde 09.02.2024 um 16:59
Na dass GxH abelsch ist   ─   fix 09.02.2024 um 17:20

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