Kurvendiskussion

Aufrufe: 127     Aktiv: 09.09.2021 um 13:18

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Hallo Leute,

Ich muss die Nullstellen und Extremstellen der Funktion f(x) = x^6 - 4x^4 berechnen, sowie bestimmen ob die Extremstellen Hoch- oder Tiefpunkte sind. Bei dem letzten Teil der Aufgabe bin ich an einem Problem gestoßen. 
Für eine mögliche Extremstelle kommt x=0 raus. Wenn ich diesen Wert allerdings in die zweite Ableitung einsetze, kommt null raus (siehe Bild unten). Eine Bedingung für eine Extremstelle ist f´´(x) ungleich null. Daher ist es keine Extremstelle. Ich habe mir den Graphen der Funktion angeschaut und sah, dass an dieser Stelle ein Sattelpunkt existiert. Die Kriterien für einen Sattelpunkt sind wiederum, dass die erste Ableitung null ist (trifft zu), die zweite Ableitung null ist (trifft auch zu) und, dass die dritte Ableitung nicht null ist (trifft nicht zu, weil f´´´(0) = 120*0^3 - 96*0 = 0). Was ist diese Stellle denn?

Kann jemand bitte so nett sein und mir helfen!

Danke im Voraus! 
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Du musst für einen Sattelpunkt die Nullstellen von f''(x) bestimmen und diese dann in f'''(x) einsetzen. Sind sie ungleich 0 handelt es sich um Wendestellen. Ist f'(x) an diesen Punkten = 0, so hast du einen Sattelpunkt.
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Hier wird nur beschrieben, wie es zu interpretieren ist, wenn die angewendeten Kriterien nicht versagen. Der Frager hat aber genau das Problem, dass f''' (x) ebenfalls Null ist. Damit ist die Antwort keine Lösung.   ─   monimust 08.09.2021 um 17:25

Und trotzdem gabs 2 Upvotes...   ─   cauchy 08.09.2021 um 20:55

Und v.a. ein Antwort akzeptiert, man fragt sich, was fängt er damit an?   ─   monimust 08.09.2021 um 20:59

Nullstellen von f'' sind \( 0, \sqrt{\frac{8}{5}} und \sqrt[2]{-\frac{8}{5}} \). Mit den obigen Kriterien bekommst du die Wendestellen raus. Für x = 0 ist es keine Wendestelle, aber auch kein Sattelpunkt. Wenn du dir die Funktion kurz in Geogebra zeichnest, Siehst du, dass du ein lokales Maximum hast, das eine gewisse Ausprägung hat.   ─   lernspass 09.09.2021 um 13:12

Sattelpunkte liegen nur dann vor, wenn die Funktion links vom Sattelpunkt fällt und rechts fällt oder beides steigt. Wenn die Funktion links vom Punkt fällt und rechts steigt hast du ein Minimum und links steigt und rechts fällt (wie hier) ein Maximum.   ─   lernspass 09.09.2021 um 13:18

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Man muss schauen, die wievielte Ableitung als erstes ungleich 0 wird.
Angenommen $f'(0)=f''(0)=....f^{(k-1)}(0)=0$ und $f^ {(k)}(0)\neq 0$. Dann gilt:
Falls $k$ gerade ist, liegt ein Extremum vor, nämlich ein rel. Minimum, falls $f^{(k)}(0)>0$, sonst ($<0$) ein rel. Max.
Falls $k$ ungerade ist, liegt ein Sattelpunkt vor.
In Deinem Beispiel liegt also ein rel. Maximum in 0 vor, und im Plot sieht man das auch.
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Schau dir mal das Intervall \([-1|1]\) an: \(f(x<0)<0;f(x>0)<0\). Also?
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Eine Anmerkung:

Diese Funktion kann allein deshalb keinen Sattelpunkt haben, da für alle x gilt: f(x) = f(-x). (Im Funktionsterm treten nur gerade Exponenten von x auf.) Der Graph der Funktion f muss also symmetrisch zur y-Achse sein. Das Grundproblem ist, dass die meisten Lehrerinnen und Lehrer ihren Leuten als hinreichendes Kriterium nur die 2. Ableitung an die Hand geben, was leider fatal ist, sobald es nicht "greift". Im Gegensatz dazu führt das Vorzeichenwechselkriterium immer zum Ziel und genau dieses sollte man hier anwenden. Was mikn schreibt, ist natürlich richtig, aber für "Schule" völlig überdimensioniert, weil für den normalsterblichen Schüler nicht nachvollziehbar...

Gruß,
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Nach meiner Erfahrung sind viele Studenten mit Vorzeichbetrachtungen auf Intervallen (noch dazu, wenn man vorher faktorisieren muss) überfordert. Die wünschen sich lieber stupide prüfbare Kriterien wie das mit den Ableitungen. Gratuliere, wenn Sie bei Schülern bessere Erfahrungen gemacht haben. Meine Antwort war nur ein Angebot - wenn es zum Niveau des Fragers passt, dann gut. Wenn nicht, dann eben nicht. Es kann keiner wissen, welchen Stand und welche Fertigkeiten der Frager hat.   ─   mikn 08.09.2021 um 16:22

Aber so was Banales, wie obenstehende Aufgabe, macht man doch wohl nicht an der Uni ??? Jedenfalls nicht in einer Analysis I Vorlesung. Tatsächlich finde ich es sträflich, wenn man Leuten die 2. Ableitung als hinreichendes Kriterium an die Hand gibt - denn wer weiß schon, dass da letztlich mit der Krümmung des Graphen argumentiert wird - bevor man das Vorzeichenwechselkriterium ausgiebig geübt hat, welches unmittelbar auf die Anschauung abzielt ...   ─   mathematinski 08.09.2021 um 17:15

Aber an der FH (für Ing/Inf-Stud). Ich halte das Vorzeichenkriterium für viel vernünftiger, hab das auch immer gelehrt (und hab das Ableitungskriterium NICHT gelehrt), aber es gab immer Probleme. Man hat es in der Schule ja anders gelernt und "das war doch viel einfacher". Wie gesagt, wir wissen nicht, ob der Frager ein Schüler, ein Ing-Student, an einer FH, an einer Uni ist.   ─   mikn 08.09.2021 um 17:28

An den hiesigen Schulen (BW) wird bei "Kriterium versagt" der VZW als funktionierende Alternative gelehrt, lediglich nicht bei den Fachabiturienten, für die existieren solche Aufgaben einfach nicht. Allerdings bleibt bei den schwächeren Schülern oft nur die Auswendiglernmöglichkeit mit den Ableitungen hängen. Spätestens, wenn sie teilweise ausgefüllte Wertetabellen interpretieren müssen, lernen sie es dann.   ─   monimust 08.09.2021 um 17:34

In NRW wird das VZW tatsächlich der zweiten Ableitung vorgezogen. Zumindest ist für die zentralen Klausuren am Ende der EF stets das VZW vorgesehen. So steht und wird es auch immer in den Lösungen gemacht. Das hinreichende Kriterium mit der zweiten Ableitung kommt dann tatsächlich erst in der QF dran, wenn man auch Wendepunkte untersucht.

Tatsächlich tun sich viele Schüler aber schwer damit, sämtliche Zusammenhänge der Differentialrechnung zu verstehen. Das fängt bereits bei der Bedeutung der Steigung sowohl rechnerisch als auch geometrisch an. Die Schuld gebe ich da aber in erster Linie den Lehrern, da diese anscheinend nicht in der Lage sind - oder keine Lust haben - diese wichtigen Zusammenhänge vernünftig und vor allem anschaulich zu erklären.
  ─   cauchy 08.09.2021 um 21:01

@cauchy: interessant. Ich mag dieses Lehrerbashing nicht, das hier gelegentlich hochkommt. Ich habe selbst jahrelang VZW gelehrt (Studenten), dabei auch, wie ich finde, vernünftig und anschaulich erklärt. Auch, dass es Vorteile gegenüber der Ableitungsmethode hat. Ein Vorteil ist übrigens, dass man ohne f'' auskommt, denn wer kann schon f'' fehlerfrei ausrechnen? Trotzdem gab es immer Widerwillen dagegen. Es herrscht (ich pauschale jetzt auch mal) ein allgemeiner Widerwillen sich Ergebnisse durch eigenes systematisches Denken zu erarbeiten. Man will lieber rechnen, gerne mit TR, denn der irrt ja nie... . Ich meine, das kann man alles auch hier im Forum wiedererkennen.
Hier wird oft was gefragt, es gibt von uns eine kleine Hilfe, und dann kommt zurück: "ja, danke, und dann wie weiter?". Es wird von vielen freiwillig nicht weitergedacht.
Das ist ein komplexes Problem. Die Lehrer sind nur ein Teil davon.
  ─   mikn 08.09.2021 um 23:22

Es gibt auf beiden Seiten schwarze Schafe, wo sollen auch die faulen Erwachsenen (Lehrer) herkommen, wenn nicht schon Jugendliche (Schüler) faul sind. Darf aber nicht heißen, dass man es ihnen durchgehen lassen sollte. Wenn immer wieder die gleichen Lehrernamen auftauchen mit gleichlautender Verhaltensbeschreibung, wenn beklagt wird, dass der Beruf aus allen möglichen Gründen gewählt wird (offizielle Befragung) nur nicht, weil man erklären kann und möchte und wenn interessierte Schüler finden, Lehrer sollten immer wieder überprüft werden, bekommt man schon ein ungünstiges Bild wenigstens eines Teils der Lehrerpopulation. Das Schlimme ist, dass auch anfangs engagierte Lehrer mit der Zeit abstumpfen und resignieren.
Dass es auf der anderen Seite auch (zunehmend) entsprechende Schüler gibt, sieht man auch hier. Es wird ihnen aber auch sehr leicht gemacht (mein Hund würde auch die Futterschüssel bevorzugen,
statt sich die Portion zu erarbeiten). Daher plädiere ich ja auch in diesem Forum für einen differenzierten Umgang mit Willigen oder Abstaubern. Ohne eine direktere Kontakte sind solche Möglichkeiten der Einflussnahme aber sehr begrenzt.




  ─   monimust 09.09.2021 um 08:30

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