Einfache Grenzwertrechnung

Aufrufe: 217     Aktiv: 8 Monate, 3 Wochen her

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Warum ist der Grenzwert von \(lim_{x \to0} \frac {3x-x^2}{1-3x^2}\) gleich 0? Das Ergebnis stimmt, ich habe es plotten lassen. Leider wird keine Angabe gemacht, ob man sich von rechts oder links der 0 nähert. Also kann die Richtung anscheinend hier nicht relevant sein. Danke für die Hilfe!
gefragt 8 Monate, 3 Wochen her
basti1233
Student, Punkte: 14

 
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2 Antworten
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Dadurch, dass die Funktion im Punkt x=0 stetig ist, gibt es hier keinen Unterschied, ob man sich von recht oder links der 0 nähert. Wenn du gedanklich in diese Funktion für x den Wert 0 einsetzt erhältst du

\( \frac{3 \cdot 0 - 0^2}{1 - 3 \cdot 0^2} = \frac{0-0}{1-0} = \frac{0}{1} = 0 \).

 

geantwortet 8 Monate, 3 Wochen her
kevin216
Student, Punkte: 662
 
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Der Zähler geht gegen 0, der Nenner geht gegen 1, also geht der Bruch gegen 0/1 = 0.

geantwortet 8 Monate, 3 Wochen her
digamma
Lehrer/Professor, Punkte: 7.66K
 

Vielen Dank für die Antwort!

Verstehe. Mein Problem war, dass ich bei gebrochenrationalen Funktionen immer nach folgendem Schema vorgegangen war:
1. Höchste Nennerpotenz finden
2. Höchste Nennerpotenz im Nenner, wie im Zähler ausklammern
3. Einzelne Terme betrachten, wo sie im Zusammenhang mit dem Grenzwert hingehen

Problem bei \(x \to 0\) ist, dass man dann oftmals Terme wie \(\frac {3}{x^2} \) erhält, die man, wenn man die Richtung von 0 nicht kennt, nicht bewerten kann.

Gibt es bei \(x \to 0\) eigentlich ein Kochrezept bezüglich gebrochenrationaler Funktionen?
  ─   basti1233 8 Monate, 3 Wochen her

Das Ausklammern der höchsten Potenz ist ein geeignetes Rezept zur Grenzwertbetrachtung, wenn man den Limes gegen \( \pm \infty \) betrachtet. Beim Limes gegen 0 geht dies natürlich nicht. Bei der Grenzwertbetrachtung zu einem bestimmten Zahlenwert ist es entscheidend zu untersuchen, ob die Funktion in der Stelle stetig ist (oder man untersucht einen Grenzwert von unten bzw. oben). Wenn man die Stetigkeit vorliegen hat, ist es im Grunde genommen nichts anderes als diesen Bruch als eine Funktion zu betrachten und den Wert einzusetzen.   ─   kevin216 8 Monate, 3 Wochen her

Das Schema mit der höchsten Potenz ausklammern macht Sinn, wenn man das Verhalten für x gegen +/- unendlich untersucht. Weil man dann im Nenner nur noch eine Konstante hat + Terme, die gegen 0 gehen. Für x gegen unendlich sind das dann Summanden der Gestalt irgendetwas durch eine x-Potenz.
Wenn man den Grenzwert für x gegen 0 anschaut, dann sind es aber die Potenzen von x selbst, die gegen 0 gehen. Deshalb klammert man die kleinste x-Potenz aus und kürzt sie, so dass im Nenner ein Summand ohne x steht. Die andern Summanden sind dann Potenzen von x, die gegen 0 gehen, der eine Summand ohne x bleibt stehen.
Das ist bei deinem Beispiel schon der Fall, da steht 1 + ... im Nenner. Und nur auf die kommt es an.
  ─   digamma 8 Monate, 3 Wochen her

Vielen Dank für beide Antworten!   ─   basti1233 8 Monate, 3 Wochen her
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