EDIT vom 30.07.2025 um 10:38:

Folgende integrale Herleitung möchte ich bitten zu überprüfen. Vielen Dank. 
(vorab: Die Formel in gelb, die ich mit der Frage gepostet habe ist nicht korrekt. Die korrekte Formel hier mit Herleitung)

I.            Ausgangspunkt: Infinitesimales Widerstandselement

Für ein sehr kleines Leiterstück der Länge dx gilt:

dR = ρ · dx/A(x)

Dabei ist:

• ρ = spezifischer Widerstand [Ω·m]
• A(x) = Querschnittsfläche an der Stelle x
• dx = infinitesimale Länge

Mit der Leitfähigkeit κ = 1/ρ wird dies zu:

dR = dx/(κ · A(x))

II.            Beschreibung des linear veränderlichen Querschnitts

Der Querschnitt ändert sich linear von A₁ (bei x=0) zu A₂ (bei x=L):

A(x) = A₁ + (A₂ - A₁) · x/L

Dies kann umgeformt werden zu:

A(x) = A₁ + (A₂ - A₁)/L · x

III.            Einsetzen und Integration

Der Gesamtwiderstand ergibt sich durch Integration über die gesamte Länge:

R = ∫₀ᴸ dR = ∫₀ᴸ dx/(κ · A(x))

Setzen wir A(x) ein:

R = 1/κ · ∫₀ᴸ dx/[A₁ + (A₂ - A₁)/L · x]

IV.            Substitution zur Lösung des Integrals:

u = A₁ + (A₂ - A₁)/L · x

Dann ist:

du/dx = (A₂ - A₁)/L

Umgeformt:

dx = L/(A₂ - A₁) · du

V.            Neue Integrationsgrenzen

• Bei x = 0: u = A₁
• Bei x = L: u = A₂

VI.            Durchführung der Integration

R = 1/κ · ∫ᴬ¹ᴬ² L/(A₂ - A₁) · du/u

R = L/[κ(A₂ - A₁)] · ∫ᴬ¹ᴬ² du/u

Das Integral ∫ du/u ist der natürliche Logarithmus:

R = L/[κ(A₂ - A₁)] · [ln(u)]ᴬ¹ᴬ²

R = L/[κ(A₂ - A₁)] · [ln(A₂) - ln(A₁)]

VII.             Endgültige Formel

Der Logarithmus entsteht, weil:

1. Die Widerstandszunahme pro Längenelement ist umgekehrt proportional zum lokalen Querschnitt: dR ∝ 1/A(x)
2. Der Querschnitt ändert sich linear, wodurch wir beim Integrieren die Form ∫ dx/(a + bx) erhalten
3. Diese Integralform führt mathematisch immer zu einem Logarithmus: ∫ dx/(a + bx) = (1/b)·ln(a + bx) + C