1)Bestimme die Nullstellen der Funktion und integriere dann von Nullstelle zu Nullstelle.

2) Du musst die beiden Funktionen zum Schnitt bringen und dann von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integrieren.

Dies Video von Daniel ist sicher hilfreich:
https://www.youtube.com/watch?v=XONmXtVVcr4

Wenn das nicht reicht probier mal dieses:
https://www.youtube.com/watch?v=7lkD7MOW4Cw

oder suche selber bei Google "Fläche zwischen zwei Funktionen (Graphen)"  oder ähnlich

f(x)=h(x) ist der richtige Ansatz.

Die Fläche zwischen f und x-Achse ist noch leichter:
y=0 ist die Gleichung der x-Achse.
Also ist der Ansatz f(x)=0  Es geht also um die Nullstellen.

Kommst Du mit den Gleichungen klar? Sonst melde Dich nochmal.

h(x) ist leicht zu faktorisieren, aber mit f habe ich Probleme
schau bitte mal ob da kein Tippfehler drin ist. insbesondere steht zwischen 3 und x^4 wirklich ein Minuszeichen?

Also mal ganz langsam:
Fläche zwischen h un der x-Achse (d.h. y=0)
1. Schritt: Nullstellen der Funktion h (Schnittstellen von h mit der x-Achse
\(  2x^5-8x=0 \)
\(  2x*(x^4-4)=0 \)
\(  2x*(x^2+2)*(x^2-2)=0 \)
Eine Gleichung 5. Grades hat maximal 5 Lösungen
hier finden wir sofort: \(x_1=0 \)    \(x_2=\sqrt{2}\)    \(x_3=-\sqrt{2}\)
Die zweite Klammer kann nie Null werden.

2. Schritt Skizze der Funktion. Gib die Funktion bei Geogebra ein und schau sie an.
Ich kann leider hier keine Bilder hochladen.

3.Schritt Flächenberechnung
f ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat die 3 berechneten Nullstellen.
Wegen der Symmetrie genügt es die Teilfläche mit den Grenzen x1 und x2 zu betrachten.
gesuchte Fläche = \(2*| \int_0^\sqrt2 h(x)dx          \)|
Kannst Du den Rest selber?

Bei f ist es schwieriger, weil man zwar die erste Nullstelle erraten kann ( x=1). Aber der Rest ist schwierig.
Daher vermute ich einen Tippfehler.

Auch die Schnittstellen von f und h lassen sich mit Deinen Angaben nicht "vernünftig" bestimmen.
Auch das deutet auf einen Tippfehler in f hin.