Es geht um ein charakteristisches Polynom

Aufrufe: 175     Aktiv: 28.07.2022 um 09:28

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Ich habe so eine Übungsaufgabe aus der La1 im letzten WiSe. Da mir beim Ausmultiplizieren jetzt mehrfach Fehler unterlaufen sind, was hier vermutlich öfter passiert, wurde mir der Tipp gegeben, zwecks Arbeitserleichterung sowohl Zeilen als auch Spalten wie beim Gaußalgorithmus zu vereinfachen. Die Zahlen sehen auch dafür geeignet aus. Ich wollte die Matrix mit den   ganzen \(\lambda \) \( s\)` hier aufschreiben, aber da hätte ich zuviel Experimentierzeit verbraucht.

Aber zurück zu meiner Frage, ich weiß jetzt nicht ob das mit der Arbeitserleichterung so erlaubt ist. Das ist jetzt eine Aufgabe der Uni, wo die Zeilenstufenform benützt wird. Spalten sind mir da nicht bekannt. An der Fernuni wird beim Gaussalgorithmus die TNF benutzt. Jetzt kann es sein, dass es beim charakteristischen Polynom andere Vorgehensweisen gibt. Ich muss dazu sagen, dass ich noch nie eine Vorlesung gehört habe, wo das besprochen wurde. Das dafür notwendige Skript von der Fernuni hilft mir dabei jetzt auch nicht. Ich habe dort jetzt auch nachgefragt. Ich hoffe jetzt von hier bzw. auch von dort auf eine zeitnahe Antwort.
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Also ich kenne die Regel von Sarru, die will ich grade bei eine \(M_{3,3}\) \(\mathbb({R}) \) anwenden. Dann konnte ich dasselbe schon mal in der Vergangenheit auch mit dem Entwicklungssatz von Laplace durchrechnen und dann kannte ich noch eine Regel, ich glaube auch für 3 reihige Matrizen, der Name fällt mir aber nicht mehr ein. Übung habe ich bei keiner Regel mehr. Mir ist z.B. nicht klar, wie es bei der Regel von Sarru zu einer Polynomdivision kommt oder kommen kann. Klar ist mir, dass man unter Umständen die pq Formel anwenden muss. Soweit mein Kenntnisse hiervon. Ja bevor ich es vergesse, darf man den bei der Regel von Sarru Zeilen und Spalten durch Addition und Subtraktion verändern um Arbeits bzw. Rechenerleichterung zu bekommen?.
  ─   atideva 26.07.2022 um 21:43

Mit der Polynomdivision und der pq-Formel bist du doch schon einen Schritt zu weit. Das sind Möglichkeiten, um später die Nullstellen des char. Polynoms zu berechnen. Um dieses zu bestimmen braucht man beides nicht.

Recherchiere einmal selbst, wie sich die Determinante einer Matrix verändert, wenn man Umformungen durchführt. Dazu solltest du mehr als genug im Netz finden. Das sollte dir dann auch dabei helfen, deine Frage zu beantworten.
  ─   cauchy 27.07.2022 um 00:15

Das habe ich bis jetzt noch kein einziges mal im Netz vorgefunden. Wenn ich im Netz charakteristisches Polynom eingebe, dann wird bei Studiflix das Beispiel an Hand einer DGL erklärt. Bei Mathepeter unter der Eingabe Eigenwerte und Eigenvektoren wird an einer Matrix zunächst das charakteristische Polynome berechnet. Dann noch Mathema trick, Mathematiqua. ... Es wird dann eine Matrix benützt, die entweder einige Nullen beinhaltet, oder wo man zum Schluß gut zusammenfassen kann. Mit anderen Worten, es müsste dann ja auch eine Matrix benützt werden, wo \(\lambda \) in der Diagonalen entweder zu den Zahlen dort addiert oder abgezogen wird. Ich habe so ein Beispiel noch nie gefunden.   ─   atideva 27.07.2022 um 12:09

Arbeitest du denn auch mit Literatur?   ─   mathejean 27.07.2022 um 12:32

Auf der ersten Seite der google-Treffer zu "charakteristisches Polynom" findet man das alles. online-Rechner (um die Frage von cauchy oben ("recherchiere...") sich selbst zu klären), Erklärungen, alles was man braucht. Es gibt nicht nur videos.   ─   mikn 27.07.2022 um 12:34

Von diesen ganzen "modernen" Matheleuten halte ich ehrlich gesagt nicht viel. Es gibt aber mehr als genug im Netz dazu zu finden. Insbesondere Skripte anderer Unis sind da um einiges mehr Wert als solche Mathe-Videos.

Darüber hinaus hast du nicht einmal nach dem gesucht, was du eigentlich willst bzw. was ich dir geraten habe. Wenn du weißt, wie man ein charakteristisches Polynom im Allgemeinen mit Hilfe der Determinante berechnet, brauchst du das ja nicht nochmal nachschlagen. Dein Problem ist doch viel mehr, ob man sich die Rechnung durch Zeilenumformungen vereinfachen kann. Ob und inwiefern das möglich ist, weiß man aber nur, wenn man weiß, wie sich die Determinante einer Matrix verändert, wenn man derartige Umformungen durchführt. Danach hast du anscheinend aber nicht gesucht.
  ─   cauchy 27.07.2022 um 12:50

Bei Wikipedia wird das wohl unter -Darstellung der Koeffizienten durch Determinanten erklärt-, aber so was von abstrakt. ich würde sagen auch sehr unverständlich. Ich habe allerdings von der Fernuni eine Antwort bekommen. Sie lautet, ja es geht, es ist allerdings Vorsicht geboten, und zwar wegen der unbestimmten \(\lambda\). Also das mit Mathepeter,... mag Geschmacksache sein. Ich finde es ganz gut. Auch Professor Weitz aus Hamburg, macht das, wie ich finde, recht ordentlich.   ─   atideva 27.07.2022 um 13:07

Auf der ersten Trefferseite findet man das von mir oben erwähnte, damit kann man selbst ausprobieren, was mit der Determinante passiert. Und es gibt auch Seiten, wo das gut erklärt ist. Da muss man die Trefferseite aber weiter lesen als bis zu videos und wikipedia.   ─   mikn 27.07.2022 um 13:11

Mag sein, ich habe z.B. einen Skript von La1, WiSe 21/22 aus Köln, der auch im Netz ist. Dieser Skript ist jetzt nicht ganz identisch mit dem was in der Vorlesung mitgeschrieben worden ist. Das weis ich von Studenten, weil ich die Vorlesung La2 von demselben Dozenten auch gehört habe, was aber nicht bedeutet, auch alles verstanden zu haben, trotz intensiven Nachdenkens. So geht es mir nicht selten mit Wikipedia, oder Erste Hilfe für Analysis bzw. Lineare Algebra -Oliver Deiser. Das Verstehen kommt ja mitunter erst einige Zeit später, auch mal in späteren Semestern. Hier ist sicher auch dazu zu sagen, wenn jemand das begriffen hat, oder mathematische Strukturen gut erfassen kann, dann ist das in einigen Fällen sicher möglich. Dieses "Aber" schwingt da doch immer wieder mit. Ich kannte einen Mathelehrer, der jetzt nicht mehr lebt. Der erzählte mir, dass er 1 Jahr Mathe studiert hat, ohne etwas zu begreifen. Ich frage mich heute noch manchmal, wenn es mir besonders schwer fällt, wie er das wohl mit dem Auswendiglernen gemacht hat, dass hätte mich schon interessiert. Er musste dann ein Referat in einem Seminar halten und tat sein bestes alles nötige bis dahin zu begriefen. Es gelang ihm jedoch nicht. Nun hat es bei ihm während seines Vortrages dann Klick gemacht und er konnte es wohl unbemerkt in seinen Vortrag einbauen. Sicher nichts, was man provozieren oder nachahmen sollte, aber eine gewisser zeitlicher Verzögerungseffekt ist immer mal wieder dabei.   ─   atideva 27.07.2022 um 13:52

Sowas passiert eben, wenn man nur eine Seite liest. Jeder nutzt eine andere Notation und jeder setzt auch andere Resultate voraus. Deswegen muss man immer schauen, was für einen am besten passt, was man evtl. schon kennt oder wo man ggf. tiefer nachbohren muss. Dann kann eine Recherche auch mal etwas länger dauern als 5 Minuten.

Wenn man Grundlagen der Analysis 1 und LA 1 erst in den folgenden Semestern begreift, halte ich das für höchst kritisch und wage mal zu behaupten, dass diese Leute ihr Studium früher oder später abbrechen. Das klingt für mich entweder nach einer Nicht-Eignung für das Studienfach an sich oder einer völlig falschen Einstellung zum Studium und damit eine Nicht-Eignung für ein Studium im Allgemeinen. Sicherlich kommt es vor - gerade auch am Anfang - dass gewisse Dinge Mühe und Kopfzerbrechen bereiten und man diese Dinge vielleicht nur "solala" versteht und das wirkliche Begreifen dann erst mit den höheren Semestern kommt. Ich denke mal, das meintest du, denn das ist auch völlig normal. Es hängt aber auch immer davon ab, wie intensiv man sich mit den Dingen auseinandersetzt. Jemand, der sich 30 Minuten mit den Hausaufgaben beschäftigt, wird sicherlich deutlich weniger begreifen als jemand, der sich 3 Stunden lang damit beschäftigt. Ausnahmen gibt es natürlich immer.

Allerdings frage ich mich immer wieder ernsthaft, warum man so etwas wie Mathematik studiert, wenn man derartige Probleme hat, mathematische Strukturen, Notationen, etc. zu verstehen. Mathematik ist das logischste Fach, was es gibt und wem das nicht liegt, der sollte lieber etwas anderes studieren. Ansonsten quält man sich da irgendwie durch.

Zu deiner Antwort selbst: Es geht aber doch gar nicht um die "Darstellung der Koeffizienten durch Determinanten". Offensichtlich hast du dein eigentliches Problem noch gar nicht verstanden bzw. kannst es nicht einmal benennen, wenn du immer auf Dinge stößt, die mit deinem Problem erst einmal nichts zu tun haben. Dir muss also ersteinmal klar sein, was dein Problem ist, um dann gezielt danach suchen zu können. Und ob das wirklich eine Arbeitserleichterung ist, die Matrix auf ZNF zu bringen, sei auch mal dahingestellt. Wenn ständig Fehler beim Ausmultiplizieren passieren, dann muss man das üben und sich mehr konzentrieren. Denn wenn bereits da schon Fehler passieren, glaube ich nicht, dass eine Umformung auf ZNF die richtige Wahl ist. Wie von der Uni schon beantwortet, ist das Rechnen mit dem $\lambda$ in der Matrix nicht unbedingt einfacher.
  ─   cauchy 27.07.2022 um 17:58

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Um hier mal etwas Klarheit reinzubekommen. Ich habe dem betreuenden Professor an der Fernuni dieselbe Frage wie euch gestellt. Er hat mir wie folgt geantwortet. Addiert man in einer Matrix ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile, dann ändert sich die Determinante nicht. Selbes gilt für die Spalten. Bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms sollte man mit diesem Schritt sparsam umgehen, denn die Matrix enthält ja noch die Einträge der unbestimmten \(\lambda\). das dazu. Die Einschätzung, ob jemand für ein Mathematikstudium geeignet ist oder nicht, kann egal wie verschütt Kenntnisse sind und dadurch logischer weise auch die Übung fehlt, kann jeder nur für sich entscheiden. Das kann man absolut so sagen. Deshalb habe ich mich über Äußerungen über vorhandene oder nicht vorhanden Eignung für dieses Studium schon geärgert. Was das nicht benennen des Problems angeht, war das offenbar dort kein Problem. Das"Problem" das ich hatte, war ausmultiplizieren, und wenn hier die Vorzeichen besonders"nett" verteilt sind, kann die Übersicht schnell weg sein. Nichts anderes habe ich gesagt. Mir ist also nicht bekannt, dass ich ein Problem nicht kannte oder nicht wusste was für ein Problem ich habe. Es war eine Frage und die Kenntnisse und Leesart die der Prof. hatte, die sollte ich euch in diesem Bereich auch zutrauen können. Ich habe zwar noch ein Paar Fragen, aber das lasse ich für dieses mal.   ─   atideva 27.07.2022 um 19:18

Ich habe dir gesagt, dass du mal recherchieren sollst, wie sich bei Zeilenumformungen die Determinante ändert. Das hast du bis jetzt aber immer noch nicht gemacht, weil du anscheinend immer wieder auf andere Dinge gestoßen bist, die aber genau mit dieser Kernfrage nichts zu tun haben. Deswegen war mir nicht klar, ob du dein eigentliches Problem überhaupt verstanden hast.

Wir Helfer sagen euch ja nicht umsonst, dass ihr das tun sollt. Wer solche Tipps aber nicht umsetzt, darf sich dann auch nicht wundern, dass er keinen Schritt vorwärts kommt.

Dein Prof. hingegen nimmt dir genau diese Arbeit aber bereits ab, was wir hier nicht machen, denn die eigene Recherche bei solch allgemeinen Dingen kann sehr wertvoll sein (wenn man es denn richtig umsetzt), denn man kann viel dabei lernen. Oder man stößt gleichzeitig auf Dinge, die andere Fragen beantworten.

Ob jemand letztendlich für ein Studium geeignet ist, darüber bilde ich mir kein Urteil. Das muss dann jeder für sich selbst entscheiden. Ich halte meine Aussagen diesbezüglich ja auch allgemein.
  ─   cauchy 27.07.2022 um 22:03

Aufgrund meiner Erfahrung in den Vorlesungen und der Kommunikation mit Übungsleitern und Professoren, mit denen ich Probleme besprochen habe, und die durchaus den Ruf haben auch anspruchsvoll zu sein, behaupte ich, dass der Prof. mich an etwas erinnert hat, was in dieser Situation durchaus angebracht war, er hätte es sonst nicht gemacht. Dazu kenne ich die Fernuni mittlerweile zu gut. Ich habe auch sonst in Gesprächen und auch mal in Email Kontakten mit anderen Studenten immer recht gute Erfahrung gemacht. Ich hatte dabei, obwohl ich bei weitem nicht immer alles so direkt manchmal auch nicht direkt indirekt begriffen hatte, im Grunde immer ein positives Gefühl dabei, und das hatte ich heute leider überhaupt nicht. Auch wenn ich alles nochmal revuepassieren lasse, komme ich zu dem Schluss, das bei diesem Austausch etwas schiefgelaufen ist, allerdings ohne meine Schuld.

Einen guten Abend.
  ─   atideva 27.07.2022 um 23:34

Es geht nicht immer um Schuld, lass uns darüber vergessen. Es ist gut, dass du dir an vielen Stellen Hilfe holst und in aktive Dialoge über Themen gehst, das ist das wichtigste! Ich würde dir vielleicht empfehlen Probleme viel öfter mit deinen Kommilitonen zu besprechen, vielleicht haben die ähnliche Probleme oder ihr könnt euch gegenseitig helfen. Es ist nämlich viel einfacher Dinge zu besprechen als zu schreiben   ─   mathejean 28.07.2022 um 09:27
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Okay das ganze ist glaube ich gar nicht so kompliziert wie du es dir vorstellst. Das charakteristische Polynom wird mithilfe der Determinante definiert, etwa \(\chi_A = \det (XE_n-A) \in K[X]\). Du musst also beim bestimmen des charakteristischen Polynoms "einfach" eine Determinante berechnen,  dazu gibt es sehr viele Methoden die man beliebig mischen kann. Hilft dir das schon ein wenig? Wenn du möchtest kann ich auch heraussuchen für dich, eine Liste mit allen Sachen zum Determinante ausrechnen
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