Hallo,

ich habe $f: R^n \to R$ dreimal stetig differenzierbar, $x \in R^n$, $A(x) \in R^{1\times n}$, $B(x) \in R^{n \times n}$ symmetrisch. Ist nun $\delta > 0$ mit $$f(x+h)=f(x)+A(x)h+\frac 12 h^TB(x)h+r(h)$$ für alle $h \in R^n$ mit $||h||< \delta$ und $\frac{r(h)}{||h||^2} \to 0$. Ich soll jetzt zeigen, dass $f´(x)=A(x)$ und $f´´(x)=B(x)$ gilt.
Für die erste Ableitung habe ich versucht mit der Definition zu arbeiten und den linearen Approximationsfehler abzuschätzen:

$\frac{| \frac 12 h^T B(x)h+r(h) |}{||h||} \leq \frac{\frac 12 |h^TB(x)h|}{||h||}+\frac{|r(h)|}{||h||} = \frac{\frac 12 |h^TB(x)h|}{||h||}+\frac{|r(h)|||h||}{||h||^2} < \frac{\frac 12 |h^TB(x)h|}{||h||}+\frac{|r(h)|\delta}{||h||^2}$
Den linken Term kriege ich also gegen 0 für h gegen 0, allerdings komme ich mit dem rechten Term nicht klar.

Für die zweite Ableitung habe ich leider keine wirklichen Ideen.

Ich bin über jede Hilfe sehr dankbar.
Liebe Grüße