Ableitungen im R^n

Erste Frage Aufrufe: 137     Aktiv: 16.06.2022 um 17:44

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Hallo,

ich habe $f: R^n \to R$ dreimal stetig differenzierbar, $x \in R^n$, $A(x) \in R^{1\times n}$, $B(x) \in R^{n \times n}$ symmetrisch. Ist nun $\delta > 0$ mit $$f(x+h)=f(x)+A(x)h+\frac 12 h^TB(x)h+r(h)$$ für alle $h \in R^n$ mit $||h||< \delta$ und $\frac{r(h)}{||h||^2} \to 0$. Ich soll jetzt zeigen, dass $f´(x)=A(x)$ und $f´´(x)=B(x)$ gilt.
Für die erste Ableitung habe ich versucht mit der Definition zu arbeiten und den linearen Approximationsfehler abzuschätzen:

$\frac{| \frac 12 h^T B(x)h+r(h) |}{||h||} \leq \frac{\frac 12 |h^TB(x)h|}{||h||}+\frac{|r(h)|}{||h||} = \frac{\frac 12 |h^TB(x)h|}{||h||}+\frac{|r(h)|||h||}{||h||^2} < \frac{\frac 12 |h^TB(x)h|}{||h||}+\frac{|r(h)|\delta}{||h||^2}$
Den linken Term kriege ich also gegen 0 für h gegen 0, allerdings komme ich mit dem rechten Term nicht klar.

Für die zweite Ableitung habe ich leider keine wirklichen Ideen.

Ich bin über jede Hilfe sehr dankbar.
Liebe Grüße
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Punkte: 10

 

Sicher, dass der rechte Term der schwierige für Dich ist und nicht der linke?   ─   mikn 16.06.2022 um 15:29

Ja, genau! Tut mir leid, da habe ich etwas zu schnell geschrieben. Hast du den für den linken Term einen Idee? Liebe Grüße   ─   user288ef6 16.06.2022 um 15:31
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1 Antwort
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Es gilt ja für $a,b\in R^n$: $|a\cdot b| \le \|a\|\cdot \|b\|$ sowie, falls $B\, n\times n$-Matrix ist: $\|B\,b\| \le \|B\|\cdot \|b\|$. Damit zeigt man schnell, dass auch der erste Summand gegen 0 geht für $\|h\|\to 0$.
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Das heißt also ich kann den Zähler des linken Terms zu $\frac 12 ||h^t|| \cdot ||B(x)|| \cdot ||h||$ nach oben abschätzen? Dann folgt natürlich, dass auch der linke Term gegen 0 geht. Dazu habe ich aber zwei Fragen:

1.) Mit $a \cdot b$ meinst du ja das Skalarprodukt, aber wo steht in dem Term ein Skalarprodukt?
2.) Was genau ist $||B||$, es ist ja eine Matrix und kein Vektor.

Vielen Dank für deine Mühe
  ─   user288ef6 16.06.2022 um 15:55

1.) Ja. In Deiner Schreibweise ist alles mit dem Matrizenprodukt geschrieben (bei dem man den $\cdot$ oft weglässt). Es gilt aber $a^Tb=a\cdot b$, das ist ja rechnerisch sofort klar. Auf der linken Seite $a^Tb$ ist das Produkt zweier Matrizen (Zeile mal Spalte), rechts Skalarprodukt.
2.) Das ist die (durch die Vektornorm induzierte) Matrix-Norm, hattet Ihr das nicht in der Vorlesung?
  ─   mikn 16.06.2022 um 16:02

1.) Ok, alles klar vielen Dank!
2.) Hängt das mit der Operatornorm zusammen?
  ─   user288ef6 16.06.2022 um 16:08

2.) Ja, das ist die Operatornorm für lineare Operatoren. Ist eventuell auch in der Numerik-Vorlesung dran gewesen.   ─   mikn 16.06.2022 um 16:10

Vielen Dank, du hast mir damit sehr geholfen. Hast du auch eine Idee für den zweiten Teil der Aufgabe?   ─   user288ef6 16.06.2022 um 16:20

Da muss ich erst selbst noch überlegen, wie man das am geschicktesten macht.   ─   mikn 16.06.2022 um 16:23

Könnte man vielleicht mit dem Satz von Taylor $f$ schreiben als $f(x+h)=f(x)+f´(x)h+\frac 12f´´(x)+r_2(h)$ und dann die Differenz $f´´(x)-B(x)$ betrachten?   ─   user288ef6 16.06.2022 um 16:34

Wenn Ihr den hattet, gut. Man braucht aber die mehrdimensionale Version, und bei f'' fehlt das h^2 bzw. im mehrdimensionalen steht da $\frac12h^TD_2(x)h$.
Wenn man darunter dann die in der Aufgabe geg. Gleichung (mit r(h)) drunter schreibt, dann die Differenz der Gleichungen bildet und durch $h$ dividiert, kommt man vermutlich durch. Hab ich nicht selbst probiert, aber da Du einigermaßen geübt scheinst, versuch das mal und melde Dich gerne nochmal dazu.
  ─   mikn 16.06.2022 um 16:51

Okay, ich glaube ich habe es, ich habe aber durch $||h||^2$ dividiert. Nach dem Satz von Taylor ist $f(x+h)=f(x)+f´(x)h+\frac 12 h^T f´´ (x)h + r_2(h)$ mit $\frac {r_2(h)}{||h||^2} \to 0$ und ich erhalte für alle $h < \delta $ $$h^T (B(x)-f´´(x))h= \ldots = 2r_2(h)-2r(h) $$ und dann ist aber auch klar, dass $$|\frac{h^T (B-f´´(x))h}{||h||^2}| \to 0$$ und daraus folgt dann aber schon $f´´(x)=B$. Ist das so richtig? Übrigens kam ich auch nur auf den Satz von Taylor, weil in der Aufgabe 3-mal stetig differenzierbar gefordet wurde, gilt die Aussage dann nicht für nur 2 mal (stetig) differenzierbare Funktionen?   ─   user288ef6 16.06.2022 um 17:23

Ja, genau, erstmal durch $\|h^2\|$. Das ist so richtig (Tippfehler am Ende: $f''$). Bin nur spontan nicht sicher, wie man die letzte Folgerung sauber nachweisen könnte. Bin aber sicher, dass die Folgerung richtig ist.
Übrigens kann man die Beh. für $f'$ dann auch so nachweisen (Division durch $\|h\|$).
  ─   mikn 16.06.2022 um 17:34

Okay, erstmal vielen Dank für deine Hilfe! Ich werde mich jetzt erstmal an andere Aufgaben setzen, da ich noch einiges zu erledigen haben und komme dann hierauf eventuell später zurück. Dir noch einen schönen Feiertag!   ─   user288ef6 16.06.2022 um 17:43

Danke, Dir auch.   ─   mikn 16.06.2022 um 17:44

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