Zu a): Die Basisvektoren bestimmen ist einfacher als bei den Matrizen. Du musst nur schauen, welches die "einfachsten" Polynome sind, aus denen man alle andern kombinieren kann. Und dann bekommst du auch die Dimension als Anzahl der Basiselemente.
Tipp: Die Dimension ist gleich der Anzahl der Koeffizienten, die man braucht, um ein Element eindeutig festzulegen.

zu b): Ja, mit "oben angegebenen" sind die gemeint, die du genannt hast. Welche denn sonst? Du hast eine Addition und eine Multiplikation. Also kannst du prüfen, ob die Körperaxiome gelten. Zum Beispiel ob Addition und Multiplikation kommutativ sind. Ob die Assoziativgesetze gelten. Ob das Distributivgesetzt gilt. Ob es neutrale Elemente für die Addition und die Multiplikation gibt. Ob es inverse Elemente gibt.
Spoiler: Es gilt alles außer der Existenz von Inversen der Multiplikation (d.h., man kann nicht dividieren).