Ableitung mit Verkettung

Erste Frage Aufrufe: 212     Aktiv: 24.02.2024 um 00:15

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Hallo zusammen,

kann mir hier jemand helfen? Wie leite ich folgende Funktion ab?



Ich danke schonmal im Vorraus für die Hilfe.
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gefragt

Student, Punkte: 12

 

Zwei Rückfragen:
1. Ist das erste "\(\cdot\)" eine Multiplikation? Wenn ja, dann ist die Aufgabe trivial, und die Lösung ist kene Funktion, sondern ein Operator. Oder soll der Operator \(\frac{d}{dr}\) auf den nachfolgenden Term angewandt werden. Dann wäre das Ergebnis eine Funktion.
2. Ist das \(\nu\) konstant (also nicht von r abhängig)?
  ─   m.simon.539 21.02.2024 um 01:07

Danke erst einmal für die Rückmeldung und ich entschuldige mich für die schwammige Fragestellung.

1. Der Differentialoperator wird nicht multipliziert, sondern auf den folgenden Term angewandt.
2. Das ν ist unabhängig von r.

Vielen Dank!
  ─   reacn 21.02.2024 um 13:36

Noch 'ne Rückfrage: In Deiner Formel gehen 3 Klammern, aber nur 2 zu. Welche Klammer ist über/fehlt?   ─   m.simon.539 21.02.2024 um 20:23

Pardon...

Es fehlt die schließende Klammer am Ende. Sodass, man am Ende drei Klammern hat.

Vielen Dank!
  ─   reacn 22.02.2024 um 09:46

Mir ist hier ein finsterer Verdacht aufgekommen: Ist \(\nu\) vielleicht keine konstante Zahl, sondern eine Funktion, und \(\frac{u}{r}\) vielleicht das Argument?
Wenn ja, dann ist die Rechnung komplizierter.
  ─   m.simon.539 23.02.2024 um 09:18

Danke!
Nein keine Sorge - das $\nu$ ist tatsächlich eine konstante Zahl (Querkontraktionszahl) und keine Funktion.

Dein Ergebnis kann ich nachvollziehen und dieses stimmt auch mit den Lösungen überein. Allerdings verstehe ich eins nicht: In meinen Lösungen wird gesagt, dass man hier Aufgrund der Verkettung, die Kettenregel anwenden muss. Mit dieser komme ich allerdings nicht auf das Ergebnis. Mit der Produktregel schon...

  ─   reacn 23.02.2024 um 11:16

Ja gut, wenn \(\nu\) keine Funktion ist, ist ja erstmal gut.
Was dann diese Aufgabe mit der Kettenregel zu tun hat, weiß ich auch nicht.
  ─   m.simon.539 24.02.2024 um 00:15
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Hier muss man die bekannten Ableitungsregeln anwenden; damit kann man sich durch die "Anatomie" der Formel hangeln.
Also: Auszurechnen ist
\(\frac{d}{dr} \left( r \left(\frac{du}{dr} + \nu \frac{u}{r} \right)  \right) \)
Hier sollte erstmal die innere Klammer ausmultiplizieren, um den lästigen Quotienten u/r loszuwerden - die Quotienteregel ist nämlich relativ kompliziert:
\(\frac{d}{dr} \left(  r \frac{du}{dr} + \nu u  \right) \).
Konstante Faktoren kann man aus der Ableitung rausziehen, ebenso das "+". Dann hat man
\(\underbrace{\frac{d}{dr} \left(  r \frac{du}{dr} \right)}_{A}+ \nu \frac{d}{dr} u  \).
Nun auf A die Produktregel anwenden. Dann hat man:
\(\displaystyle \frac{dr}{dr} \frac{du}{dr}  + r\frac{d}{dr}\frac{du}{dr} + \nu \frac{d}{dr}u  \).
Nun noch alles ein bisschen schöner schreiben:
\(\displaystyle \frac{du}{dr}  + r\frac{d^2u}{dr^2} + \nu \frac{du}{dr}  \).
Ist also im Grunde genommen Schulstoff 11. Klasse, nur mit einer anderen Schreibweise.
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